Re: [理工] [工數]-ODE
※ 引述《terrylove12 (風馡)》之銘言：
: 題目是
: solve
: dy/dx=(ax+y-2)/(3y-2)
: for y(x) with "a" being a real number.
: Note that different values of "a" may lead to different solutions
: ,so that your solutions must include ALL possibilites.
: 一開始我的想法是a>0 a=0 or a<0
: 三種情況 =0的話 看起來是個變數可分離的ODE
: 若非0 則 非齊次 非正合 也很難變成一階線性...
: 然後就卡住了 所以上來求解= =|
: 先謝謝解題的各位了
: 題目是91年台大土木
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ax+y-2 1 ax- 4/3
y' = ______ = ___ + _______
3y-2 3 3y-2
<1> if a≠0 :
set X = x - 4/3a
Y = y - 2/3
aX
then O.D.E. → dY/dX = 1/3 + ____
3Y
let Y=uX → Y' = u + Xu'
so u + Xu' = 1/3 + a/(3u)
(u-1/6) + 1/6 1
→ ___________________ du = - ___ dX , where k= 12a+1
(u - 1/6)^2 - k/6^2 X
case 1: k ≧ 0 (or a ≧ -1/12)
O.D.E.
1 1 6u-1-√k
→ ___ ln｜3u^2-u-a｜ + ____ln｜ ________ ｜ = -ln｜X √C1｜
2 2√k 6u-1+√k
2 2 6Y - [1+√(12a+1)]X √(12a+1)
or (3Y - XY - a )*{ ___________________ } = C1
6Y - [1-√(12a+1)]X
case 2: k ＜ 0 (or a ＜ -1/12)
O.D.E.
1 1 -1 6u-1
→ ___ ln｜3u^2-u-a｜ + ______tan [ ______ ] = -ln｜X｜ + C2
2 √(-k) √(-k)
2 2 1 -1 6Y-X
or ln√(3Y - XY - a ) + __________ tan [ ___________ ] = C2
√(-12a-1) X√(-12a-1)
<2> if a=0 :
y-2
y' = ______
3y-2
4
→ ( 3 + _____ ) dy = dx
y-2
→ 3y + 4ln｜y-2｜ = x - ln｜C3｜
4 x-3y
or C3*(y-2) = e
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ps: <1> 的最後結果記得要把 X、Y 替換回 x、y
-1
ps2: <1> 的 case 1 也可以用 tanh 這個函數表示
型態會和 case 2 長的幾乎一樣
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