[理工] 線代 冪零矩陣

看板Grad-ProbAsk作者 (不想當小螺絲釘！)時間12年前 (2011/11/27 14:25), 編輯推噓2(2推 0噓 14→)
留言16則, 7人參與, 最新討論串1/1
A為一冪零矩陣 如果A^k=0 試證I-A為nonsingular matrix 解法是 I-A^k=I=(I-A)(I+A+A^2+...+A^K-1) 用後面兩式來看的話 變成I=(I-A)(I+A+A^2+...+A^K-1) 可是我想不太通為什麼I+A+A^2+...可以直接inverse到左邊 使其變成I-A的反矩陣 I+A+A^2+...為什麼一定是滿秩的呢? 問題有點奇怪..煩請解答..謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.11.43
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11/27 14:35, , 1F
因為 B*C=I, Rank(I) ≦ min {Rank(b), Rank(c)}
11/27 14:35, 1F
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11/27 15:32, , 2F
謝謝樓上
11/27 15:32, 2F
推
11/27 23:51, , 3F
這題我是用因為A:nilpotent，所以A的所有eigenvalue都是0，
11/27 23:51, 3F
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11/27 23:52, , 4F
所以I-A的所有eigenvalue都是1，所以I-A沒有0 eigenvalue，
11/27 23:52, 4F
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11/27 23:53, , 5F
故I-A:nonsingular。不過這種解法黃子嘉都會說用定理不行..
11/27 23:53, 5F
推
11/28 00:13, , 6F
如果這樣 可能還需要再說明eigenvalue!=0時 可逆吧
11/28 00:13, 6F
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11/28 00:14, , 7F
雖然都背起來了 但是畢竟結果也是導出來才來用的
11/28 00:14, 7F
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11/28 00:19, , 8F
幹麻這麼麻煩 看成兩個matrix相乘I=A*B 則 B為A的右反,nxn
11/28 00:19, 8F
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11/28 00:19, , 9F
的矩陣就找到唯一的矩陣啦 除非你要證唯一 但我想這題重點
11/28 00:19, 9F
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11/28 00:19, , 10F
不是在這
11/28 00:19, 10F
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11/28 00:33, , 11F
上面用定理可以阿 祇是都需要證明而已XD
11/28 00:33, 11F
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11/28 02:04, , 12F
我也是用Det(I-A)!=0時 來表示I-A可逆, 不過有個疑問
11/28 02:04, 12F
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11/28 02:05, , 13F
想請教, 直接寫 I+A+A^2+... = (I-A)^-1,這樣可以嗎
11/28 02:05, 13F
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11/28 02:05, , 14F
3Q
11/28 02:05, 14F
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11/28 02:37, , 15F
可以啊，它加完也是一個矩陣。
11/28 02:37, 15F
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09/11 14:37, , 16F
nonsingular https://daxiv.com
09/11 14:37, 16F
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