[線代] 考研究所的考古題

看板Math作者 (小花)時間13年前 (2010/12/25 12:59), 編輯推噓1(1推 0噓 13→)
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對的證明錯的舉反例: 對所有的m*n階矩陣A B=A的轉置矩陣 則 rank(BA)=rank(AB) =============================== 這題毫無頭緒= = 結果試了很多個例子 都是對的 但是證明又卡卡的 因為一邊是m*m階矩陣 另外一邊卻是n*n階矩陣 有版友能給提示嗎! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 60.244.250.32
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12/25 13:26, , 1F
証明 rank(BA)=rank(A) 即可
12/25 13:26, 1F
推
12/25 21:04, , 2F
[1 i]
12/25 21:04, 2F
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12/25 22:32, , 3F
復數域討論這個問題， 轉置應該是共軛轉置
12/25 22:32, 3F
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12/25 22:55, , 4F
抱歉我算一算還是有點卡住..rank(A)包含rank(BA) OK
12/25 22:55, 4F
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12/25 22:55, , 5F
但是另外一邊就證不太出來!
12/25 22:55, 5F
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12/26 01:41, , 6F
你可以從ker(A)=ker(AB)下手
12/26 01:41, 6F
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12/26 01:43, , 7F
把A看做某個線性轉換從F_n→F_m的左乘矩陣
12/26 01:43, 7F
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12/26 01:45, , 8F
n是定義域的維度
12/26 01:45, 8F
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12/26 09:16, , 9F
設 rank(A)=r, 存在一個 n 階可逆方陣 P 使 AP 前 r
12/26 09:16, 9F
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12/26 09:17, , 10F
行線性獨立而後 n-r 行均為 0.
12/26 09:17, 10F
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12/26 09:18, , 11F
rank(A'A)=rank(P'A'AP) 而 P'A'AP 之左上角為 r 階
12/26 09:18, 11F
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12/26 09:19, , 12F
可逆方陣, 其餘元素皆 0. 故 rank(P'A'AP)=r.
12/26 09:19, 12F
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12/26 14:50, , 13F
consider a vector x in R^n x^t.A^t.A.x !=0 iff
12/26 14:50, 13F
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12/26 14:52, , 14F
A.x!=0 , hence A^t.A.x=0 iff A.x=0
12/26 14:52, 14F
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