[分析] 收斂問題
if a_n → S , b€R
then b*a_n → bS
證法:b = 0, done
b =/= 0 , 只要取ε/ b 即可
可是 如果今天是
for all x€S
if f_n(x) → f(x) pointwisely , g(x)€R
then g(x)*f_n(x) → g(x)*f(x) pointwisely
證法:g(x) = 0 , done
g(x) =/= 0 , 只要取ε/│g(x)│ 即可
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問題來了
如果今天改成
for all x€S
if f_n(x) → f(x) uniformly , g(x)€R
then g(x)*f_n(x) → g(x)*f(x) uniformly???????
感覺是對的 可是證不出來
因為雖然 │f_n(x) - f(x)│< ε 所需之N_ε與x無關
可是如果你取ε/│g(x)│時,就會變成N_ε(x) , 與x有關了
所以有無此反例????
因為感覺
g(x)* lim f_n(x) = lim g(x)*f_n(x) 是很顯然的
n→∞ n→∞
但是f_n(x)與f(x)夠進所需要的共同足碼
不一定能讓 g(x)*f_n(x) 與 g(x)*f(x) 夠進
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