[數論] 請教畢氏三元組公式

看板Math作者pentiumevo (數學系最不靈光的人)時間12年前 (2012/08/06 18:50)推噓3(3推 0噓 9→)

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近來在讀初等數論，正好k到畢氏三元數之前看"數學女孩-費馬最後定理"中也有提到，只是沒有認真去想我看了看課本跟小說中的解說，覺得公式的推導對我來說不是那麼直觀就算是用單位圓想，我也沒有想不到拉直線要那樣拉所以我就自己想了幾天，再上網找點資料看到一個網站(從維基百科連過去) http://www.xieguofang.cn/Maths/Number_Theory/Fermats_Last_Theorem_1.htm 裏頭的推導我覺得比較直觀些但我在最後證明時有點疑問，想請教大家網站上的公式與一般書本不大一樣(但應該是等價的) 網站的作者是這樣下手的：考慮 2 2 2 a + b = c 其中 gcd(a, b, c) = 1 先用奇偶分析可以證明a, b必是一奇一偶, 不失一般性，令a是奇數、b是偶數。原式變形得 2 a = (c - b)(c + b) 這裡顯然可知 c - b < c + b 由於 2 2 a = 1 * a 如果先假設 2 c - b = 1, c + b = a 那麼可以解得 2 2 a - 1 a + 1 b = ------ , c = ------ 2 2 讓a跑遍所有奇數，可以得到一批畢氏三元組(由此可知存在無限個畢氏三元組) 2 但是剛剛假設太強，c - b 與 c + b 不一定正好是 1 與 a 所以有以下情況：如果a是質數，那只能用剛剛分解的方式去設定c - b 與 c + b 如果a是合數，例如 a = pq, 其中 p 與 q 都是奇數，此時可設 q ≦ p 那麼 2 2 2 a = p q 當 p = q 時，如果用原來的方式設定c - b 與 c + b，那只會得到 b = 0 的結果 (網站只說不失一般性可設 p > q，這裡我有疑問) 我想，如果 p = q 是質數，那就只能用一開始的方式設定c - b 與 c + b 而當 q < p 時，可設 2 2 c - b = q , c + b = p 解得 2 2 2 2 p - q p + q b = ------ , c = ------- 2 2 2 2 但是 a 也有其他分解方式，例如 q * qp 但這樣算出來的結果與一開始假設 gcd = 1 矛盾我想問的是，根據上面這樣的討論，我是不是可以宣稱： 2 2 2 設正整數x, y, z滿足 x + y = z , 且gcd(x, y, z) = 1, x是奇數，則(x, y, z)必可表示成 2 2 2 2 p - q p + q (pq, ------- , -------) 2 2 其中p與q是兩互質正整數，且 p > q 抱歉問題寫很長，如有不清楚的地方麻煩說一下，謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.126.199.100

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謝謝j大的指點，首先如果是右到左的話，是不是把 2 2 2 2 p - q p + q (pq, ------- , -------) 2 2 2 2 2 代到 a + b = c ，驗證是否合式子就行了呢？我代進去是一定合啦。另外，我就是覺得一般的式子推倒想法沒那麼直接，所以我才找了這個想法不好意思，可以麻煩再幫我看看嗎？謝謝 ※ 編輯: pentiumevo 來自: 111.243.180.34 (08/06 20:01)

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