Re: [微積] 疑似均值定理的證明題
※ 引述《Philethan (PE)》之銘言：
: 今天考了台大微B，計算證明題第二題大致如下：
: b cos(x)
: 假設 b < a < ，試證明存在 c=f(a,b) 使得 ∫ ----------- dx = cos(c)(1/a - 1/b)
: a x^2
我的話會這樣寫，既然題目出現的是 1/a - 1/b，那麼就讓
積分區域出現 1/a 和 1/b，所以令 u = 1/x ，
1/b
那麼原積分 = ∫ - cos(1/u) du ，現在即可使用積分均值定理
1/a
得到原積分 = cos(c)*(1/a-1/b)， c = c(a,b)
: 不確定有沒有記錯，不知各位高手怎麼想？
: 我的想法是，由均值定理可知
: sin(1/a) - sin(1/b)
: ------------------- = cos(c) ; 1/a < c < 1/b
: 1/a - 1/b
: 所以，
: sin(1/a) - sin(1/b) = cos(c) * (1/a - 1/b)
: 只要我能夠將積分式整理成上式左項，那應該就有機會做出來了吧？雖然目前還
: 沒用到 c=f(a,b) 的已知條件Orz
: 我觀察到，可令 t=1/x，因此 dt = -1/x^2 dx
: 所以可以換為：
: 1/b 1/a
: - ∫ cos(1/t) dt = ∫ cos(1/t) dt
: 1/a 1/b
: 可是...
: 1/a
: ∫ cos(1/t) dt ==??== sin(1/a) - sin(1/b)
: 1/b
: 總覺得差一點啊！！懇請各位高手指點一下了，謝謝，感激不盡！
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