[線代] 收斂向量的二維PCA
請問一下，標準PCA是把n個p維的點{x_1~x_n}垂直投影到1<=r<=p維的仿射平面
(平移量是{x_i}的平均值)，我想知道若加上
(1) x_n→a
(2) r=2
定義 1st eigenvalue λ_1(n), eigenvectro w_1(n)
2nd eigenvalue λ_2(n), eigenvectro w_2(n)
那 lim λ_1(n),λ_2(n), w_1(n), w_2(n) 會如何？
n→∞
或是更強的結果有for any n的公式
【數學陳述】
Let {x_i} be a sequence of convergent vectors in R^p.
For every n€N, we define the followings:
n x_i
《mean》 m_n:= Σ ─── €R^p
i=1 n
┌ ─ x_1-m_n ─ ┐
《dev. matrix》 X_n:=│ . │€M_(nxp)
│ . │
└ ─ x_n-m_n ─ ┘
X^t X
《cov. matrix》 S_n:= ──── €M_(pxp), which is semi-positive
n-1
with 1st, 2nd eigenvalues λ_1(n), λ_2(n)
and corresponding eigenvectors w_1(n), w_2(n).
Moreorver, {w_1(n),(n)} is chosen to be orthonormal.
If
(1) x_n → w
(2) further conditions needed？
Then
(1) λ_1(n), λ_2(n) converges？or there's a formula depending on n？
(2) w_1(n), w_2(n) converges？(如果w_1(n)跟w_1(n+1)只差負號就取同號)
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【觀察與猜測】
(1) 當n→∞ 我們有 x_n→a, mean({x_i})→a
(2) 若 x_n - x_(n-1)
──────── → some fixed vector w, then 1st eigenvector → w
│x_n - x_(n-1)│
但若否，λ,w都不會收斂？
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謝謝幫忙！
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