Re: [中學] 一題不等式

看板Math作者LPH66 (信じる力奇跡起こすこと)時間4年前 (2020/01/22 15:06)推噓2(2推 0噓 12→)

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※ 引述《tzhau (生命中無法承受之輕)》之銘言： : 設數列<a_n>與<b_n>具a_n>0且b_n>0， : a_(n+1)=a_n + [1/(b_n)], b_(n+1)=b_n + [1/(a_n)], n為正整數 : 證明a_50 + b_50 > 20 : 感覺這題會用到算幾，但還是試不太出來，不曉得是不是解題方向錯誤 : 還煩請版友解惑，謝謝。 : → yhliu : 想不出...數值計算在 a_1=b_1=1 的假設下算得20.16 01/21 13:27 : → yhliu : 本想從 a(n+1)+b(n+1)=a(n)+b(n)[1+1/(a(n)b(n)) 01/21 13:30 : → yhliu : 和 a(n+1)b(n+1)=a(n)b(n)+1/(a(n)b(n))+2 想辦法, 01/21 13:31 : → yhliu : 沒成. 01/21 13:31 好像可以這樣看: a_{n+1}+b_{n+1} = a_n+b_n+1/a_n+1/b_n = a_n+b_n+(a_n+b_n)/(a_n*b_n) ≧ a_n+b_n+(a_n+b_n)/[(a_n+b_n)/2]^2 (這步用了算幾) = a_n+b_n+4/(a_n+b_n) 也就是說, 若令 c_n = a_n+b_n, 則有 c_{n+1} ≧ c_n + 4/c_n 由於 c_2 = a_2+b_2 = a_1+1/a_1+b_1+1/b_1 ≧ 2+2 = 4 易知 c_n ≧ 4 對 n≧2 那麼 c_{n+1} 會在 c_n 取得極小值時取得極小值 (函數 x+4/x 可由算幾知在 x=4/x 即 x=2 時取得極小值, 且它在 x≧2 時為遞增) 又 c_2 = a_2+b_2 = 4 可在 a_1 = b_1 = 1 得到而在這個起始條件下有 c_{n+1} = 2(c_n/2 + 2/c_n) = c_n + 4/c_n 也就是這個極小值狀況一路上去都是極小值成立加上上面已經算得的此時 c_50 ～ 20.16 即可證得原式 === 不過這裡還有一個問題在於 c_50 ＞ 20 這條件很緊, 因為 c_49 ～ 19.97 也就是說這還真的得要一路這樣求上來才能確定第 50 項和大於 20 中間應該沒有什麼估計的空間, 感覺筆算無理... === 是說原本我也有想到乘積數列 (即上面所引推文三樓的那條) 還想說乘積只跟前項乘積有關應該有點東西, 可是還是沒法 XD 最後還是回到和項這一串, 然後試了半天才發現這個做法 -- 'Oh, Harry, don't you see?' Hermione breathed. 'If she could have done one thing to make absolutely sure that every single person in this school will read your interview, it was banning it!' ---'Harry Potter and the order of the phoenix', P513 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.218.108.104 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1579676795.A.231.html

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Vulpix

01/22 15:40, 4年前 , 1^F

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Vulpix

01/22 15:49, 4年前 , 2^F

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Vulpix

01/22 15:50, 4年前 , 3^F

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