[線代] 想問兩矩陣相乘

看板Math作者 (今朝有酒今朝醉)時間3年前 (2020/09/23 23:19), 編輯推噓13(13推 0噓 43→)
留言56則, 4人參與, 3年前最新討論串1/1
想問 一個未知的NxN的矩陣A，再乘上自己後， 得到一已知的NxN矩陣B 在A有N平方個未知數，而對應到已知的B，可以寫出N平方個方程式 但此時A的解卻不是唯一的 想問一下，是存在哪些相依的條件？ 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.17.65 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600874352.A.4D9.html
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09/24 00:29, 3年前 , 1F
???for all i,j, Σa_{ik}*a_{kj}=b_{ij} 共n^2個式
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09/24 00:29, 3年前 , 2F
子 原PO是想要這個?
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推
09/24 00:37, 3年前 , 3F
化成canonical form來看吧，不然個別研究太辛苦了。
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09/24 00:38, 3年前 , 4F
然後弄完以後就是每個矩陣的orbit有多大的問題了。
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09/24 00:48, 3年前 , 5F
??? 我個人覺得用成canonical form幫助不大 雖然B可
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09/24 00:49, 3年前 , 6F
以用成和A差不多的結構 但那也是假定有A的情況 冏
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09/24 00:51, 3年前 , 7F
譬如說A和A'都是三維空間中不同平面的鏡射 但
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09/24 00:53, 3年前 , 8F
A^2=A'^2=I 也就是說就算只看Σa_{ik}a_{kj}=δ_ij
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09/24 00:54, 3年前 , 9F
其代數幾何的結構就已經很複雜了 冏
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09/24 00:59, 3年前 , 10F
嗯 我錯了 用成Jordan form可以縮減一些size 不過情
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09/24 01:00, 3年前 , 11F
況還是很異常複雜才對
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09/24 01:38, 3年前 , 12F
話說X^2=B有沒有解都值得大篇幅討論了(的確存在B使
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得該式無解) 冏
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或許原po可以加一些條件在B上
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推
09/24 02:47, 3年前 , 15F
原 PO 的問題感覺像是「我有 N^2 個未知數的 N^2 個
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式子, 怎麼會有多解狀況？」
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如果只是這樣單純的問題的話, 注意到這 N^2 個式子
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並不是這 N^2 個變數的一次方程式, 而是二次方程式
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09/24 02:49, 3年前 , 19F
一個極端狀況: 一條一元二次方程式也會有 0 1 2 解
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09/24 02:50, 3年前 , 20F
因此並不是哪些式子有相依 (這種討論只有一次方程
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才能使用) 而是因為式子本身是高次方程
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09/24 02:53, 3年前 , 22F
我上三行提的一條一元二次方程式的狀況也有矩陣對應
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09/24 02:54, 3年前 , 23F
原 PO 可以思考一下這個對應和你原來問題之間的關連
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若如L大所言 那原PO應該考慮的是解集合的維度 而非
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09/24 11:16, 3年前 , 25F
解的個數 你有n^2條等式 那就應該用微分幾何或代數
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數何的手法去看解空間 對於大部份良好的B 解空間的
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確是0維的 (一堆零散點也是0維空間)
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離
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推
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準確地說，對那些良好的B，解空間總共有2^N個點。
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而找到那些解的方法就是對角化，然後這些夠好的B的
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所有本徵值都相異，每個數字開根號後都有兩種可能，
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所以有2^N個解。
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推
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啊，還要可逆才夠「良好」。
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推
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推V大
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推
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用牛頓二項式在分數次的推廣
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A^(1/2)=(I+A-I)^(1/2)=1+1/2(A-I)+1/2(1/2-1)/2!*
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(A-I)^2+1/2*(1/2-1)*(1/2-2)/3!(A-I)^3可求逼近解
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推
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09/25 13:10, 38F
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09/25 13:11, 3年前 , 39F
如果是可對角化矩陣，高中有教。或丹曼-畢福斯疊代
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推
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如果A化為JORDAN 標準形式，對於每個小JORDAN BLOCK
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可以開根號，尤其是特徵值為正的。因為J=tI+N
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09/25 13:34, 3年前 , 42F
N為冪零矩陣 I為單位矩陣
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特徵負的考慮複數域也可以處理
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09/25 13:36, 3年前 , 44F
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推
09/25 15:06, 3年前 , 45F
特徵值是0又不是1*1的block就開不了根號了。
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推
09/25 23:36, 3年前 , 46F
特徵值是0的話就用二項式展開逼近看看結果。看維基
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09/25 23:36, 3年前 , 47F
百科應該沒有完善的通解，只有逼近法和特徵值不為零
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的公式解。
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如果有通解也不用逼近法了。
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09/25 23:37, 3年前 , 50F
推vul大
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推
09/25 23:38, 3年前 , 51F
原po問的是好問題，所以才有這個維基條目。
09/25 23:38, 51F
推
09/26 00:12, 3年前 , 52F
再給出另一方法，由det(A-tI)計算caleyhamilton 方
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09/26 00:12, 3年前 , 53F
程式，將caley -hamilton兩邊同乘以A^-1/2次，再將A
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09/26 00:12, 3年前 , 54F
和A的-1次代入可得A^0.5次，這裡可看出singular 矩
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09/26 00:12, 3年前 , 55F
陣會失效。
09/26 00:12, 55F
推
09/26 00:18, 3年前 , 56F
喔喔這個caley方法會自我消去，應該不行。
09/26 00:18, 56F
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