[其他] Σsummation的算法

看板Math作者 (cornerstone)時間2月前 (2024/09/08 11:40), 編輯推噓0(0推 0噓 26→)
留言26則, 2人參與, 2月前最新討論串1/1
版上的大大們好， 想請教連續的summation要怎麼算呢？ 我用手寫了兩個版本， 第一個是展開的時候， 因為j = i，所以我就直接帶進去(j - i + 1)， 可是這樣算到後面變成n^4 https://imgur.com/1Myr3J1
第二個版本是一個一個展開， 但這樣算到後面只有n^2 https://imgur.com/5equlx7
但解答是n^3 所以我想請教這樣問題該怎麼算呢？ 我的盲點和錯誤在哪？ 謝謝各位！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 71.209.89.17 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1725766817.A.AD6.html
→
09/08 11:50, 2月前 , 1F
有j的怎麼會拆開來跟沒j的長差不多 j是在跑的變數耶
09/08 11:50, 1F
→
09/08 11:54, 2月前 , 2F
j在跑的話，Σi = iΣ , 但Σj ≠ jΣ
09/08 11:54, 2F
→
09/08 11:55, 2月前 , 3F
仔細一看你第一張也怪怪的，你是以為Σ這個符號本身
09/08 11:55, 3F
→
09/08 11:56, 2月前 , 4F
是獨立的東西？ 是的話那你完全弄錯它意義跟算法了
09/08 11:56, 4F
→
09/08 11:58, 2月前 , 5F
先考慮簡單一點的狀況，[i=1→n]Σi這狀況不會變成
09/08 11:58, 5F
→
09/08 11:59, 2月前 , 6F
iΣ = in
09/08 11:59, 6F
→
09/08 12:00, 2月前 , 7F
而是變成n(n+1)/2 後面的東西很重要
09/08 12:00, 7F
→
09/08 12:04, 2月前 , 8F
你要算θ的話要看後面東西在跑的變數是幾次方，Σ後
09/08 12:04, 8F
→
09/08 12:04, 2月前 , 9F
就會多一次，所以第一張應該是3次，第二張也是3次
09/08 12:04, 9F
→
09/08 13:10, 2月前 , 10F
真的很謝謝您的解釋！我有點不太清楚[j=i→n]Σi和
09/08 13:10, 10F
→
09/08 13:12, 2月前 , 11F
[j=i→n]Σj的不同？我理解有三個迴圈所以應該是n^3
09/08 13:12, 11F
→
09/08 13:13, 2月前 , 12F
但數學運算的部分，好像還想不太通...
09/08 13:13, 12F
→
09/08 13:19, 2月前 , 13F
以你提的這兩個狀況來說，前者迴圈裡i沒有在跑，對
09/08 13:19, 13F
→
09/08 13:20, 2月前 , 14F
吧？所以前者是i+i+i+...+i，總共有(n-i+1)項，所以
09/08 13:20, 14F
→
09/08 13:21, 2月前 , 15F
是(n-i+1)i，另外也可從Σi=iΣ，這兩者相等
09/08 13:21, 15F
→
09/08 13:22, 2月前 , 16F
iΣ的意思不是Σ後面什麼都沒有，後面是1
09/08 13:22, 16F
→
09/08 13:23, 2月前 , 17F
再來後者的情況，j有在跑，所以是i+(i+1)+(i+2)+...
09/08 13:23, 17F
→
09/08 13:24, 2月前 , 18F
+(n)，然後再使用等差級數公式
09/08 13:24, 18F
→
09/08 13:25, 2月前 , 19F
另外也可由i→n意思就是1→n扣掉1→(i-1)來理解
09/08 13:25, 19F
→
09/08 13:30, 2月前 , 20F
當然由於這些都只是0次跟1次，所以只要用到等差級數
09/08 13:30, 20F
→
09/08 13:30, 2月前 , 21F
但如果後面在跑的東西變成二次以上，精算的狀況就要
09/08 13:30, 21F
→
09/08 13:32, 2月前 , 22F
用到連續平方和之類的公式了，但只是算θ的話就記得
09/08 13:32, 22F
→
09/08 13:32, 2月前 , 23F
只是多一次就好
09/08 13:32, 23F
→
09/08 13:41, 2月前 , 24F
另外有件事情記得一下會比較方便，那就是sum裡面在
09/08 13:41, 24F
→
09/08 13:42, 2月前 , 25F
跑的那個變數算出來之後應該要不見（沒那個變數名）
09/08 13:42, 25F
→
09/09 13:48, 2月前 , 26F
真的非常謝謝您詳細的解說！學到很多，謝謝！
09/09 13:48, 26F
‣ 更多 cornerstone 的文章
文章代碼(AID): #1ctHoXhM (Math)