98小考解答
※ 引述《sky2857 (楷中)》之銘言：
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作者: autumnwind10 (AndyWang) 看板: NTU-Exam
標題: [試題] 98暑 周青松 微積分甲下 第一次小考
時間: Tue Aug 24 22:25:00 2010
課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰暑修
課程教師︰周青松
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2010/8/19
考試時限（分鐘）：50分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題：
1. (20%) Given f is continuous, use L'Hopital's rule to determine
x
lim (1/x)∫ f(t)dt
x→0 0
Sol:
By L'Hopital's rule
x
lim (1/x)∫ f(t)dt = lim f(x) = f(0)
x→0 0 x-> 0
2. (30%) Find the following limits.
(a) lim (1+1/x)^3x
x→∞
(b) lim (e^x+3x)^(1/x)
x→0
Sol:
(a)
lim (1+1/x)^3x = lim ((1+1/x)^x)^3 = (lim (1+1/x)^x)^3
x→∞
=e^3
(b) lim (e^x+3x)^(1/x) = e^x+3
x→0 e^( lim ------- ) =e^4
x->0 e^x +3x
3. (30%) Find the following integral if it exists.
∞
(a) ∫ 1/[e^x+e^(-1)] dx
-∞
4
(b) ∫ dx/x^2-5x+6
1
x=0
Sol: (a) oringinal = lim arctan(e^x) |
t->-∞+ x=t
x=a
+ lim arctan(e^x) |
a->∞- x=0
= pi/4 - 0 + pi/2 - pi/4
=pi/2
(b)
拆開成 以x-2 為分母和x-3為分母 隨便帶一個就會發現發散
4. (20%) Calculate the standard deviation for the exponential density
function f
f(x) = ke^(-kx), x≧0
0, otherwise.
where k is a positive number.
Sol: Standard deviation就是標準差
積分利用∫xf(x)dx來計算 考量本題f(x)在小於零處=0
∞
可以寫出積分 ∫ kxe^(-kx)dx
0
這是平均值u 則標準差是
∫ (x-u)^2 ke^(-kx)dx
答案就是1/k 算是不太難的一題暇積分
對不起我之前寫錯了哈哈
參考答案：
1.f(0)
2.(a)e^3
(b)e^4
3.(a)π/2
(b)doesn't exist
4.1/k
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