[請益] 電容問題

看板Physics作者 (prof)時間12年前 (2011/12/25 18:27), 編輯推噓3(3推 0噓 39→)
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感覺自己讀電類科系這麼久還問這問題有點不好意思:P 我想問的是: 靜電學中多導體系統電壓與導體上電荷的關係 也就是例如Jackson 43頁寫的 Vi=Σpij*Qj 或是 Qi=ΣCij*Vj 像Jackson裡面就說 pij(或Cij)是只跟導體的幾何結構有關的 我想問的其實就是這該如何證明 Jackson裡面是說因為"電壓和電荷密度有一個linear functional的關係" (上面雙引號裡面應該就是指V=1/(4πε0)*∫ρ/|r-r'|d^3r這個式子) 所以這等於是在告訴我 ρ/(∫ρd^3r)=ρ/Q只跟幾何結構有關 試問這又如何證明? 似乎很直觀的東西 但我卻想不出來要如何嚴謹地從數學上證明 目前想到唯一方法就是 似乎可以利用Jackson 39頁的式子 (用Green's function解Dirichlet boundary condition的poisson equation) V=1/(4πε0)*∫ρ(r')*G(r,r')d^3r'-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA' 因為導體外的電荷ρ=0(電荷只分布在導體表面) 所以V=-1/(4π)*∮V(r')*δG/δn'*dA' 然後導體表面的電壓又是定值 所以V=-1/(4π)*ΣVi∮*δG/δn'*dA' i Si 因為Green's function只是跟幾何結構有關 所以這等於就證明了Qi=ΣCij*Vj這個式子 (因為Qi=-ε0*∮δV/δn*dA') Si 但這個解法實在有點複雜 不知道有沒有更簡單的想法可以證明? 是我想得太複雜忽略了什麼簡單的觀念嗎? 請大家不吝賜教 謝謝! -- 正妹也只不過是一組物質波方程的特解罷了( ￣ c￣)y▂ξ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 118.169.42.4
推
12/25 19:27, , 1F
真的滿直觀的吧..如果你有個電荷密度分布在在空間產生一個電
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12/25 19:28, , 2F
位場，則你把全域的電位密度改成K倍，則全域的電位也會改成K
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12/25 19:28, , 3F
倍
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可是你這前提是ρ/Q要維持定值,那V才確定會變K倍
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今天我如果只知道Q變成K倍 要如何知道V也變K倍?
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12/25 19:34, , 6F
因為Q變K倍後，為了滿足導體邊界條件，ρ也勢必只能變K倍呀
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導體問題的解是唯一決定的
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所以你等於就是說ρ/Q是定值了~那要如何證明這個?
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我推的第二行的第一個電位改成電荷
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恩我知 我就是想要知道:為何ρ/Q只跟幾何結構有關~
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因為這樣能維持導體的邊界條件啊，然後導體問題的解是唯一決
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能證明這件事等於就證明我想問的問題了
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定的，所以ρ變K倍就是正確解了
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12/25 19:41, , 14F
導體的解是唯一 這件事就是我說的Dirichlet problem阿~
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當然只能跟結構有關阿XD 靜電問題就是跟電荷量跟電荷排列狀
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它是要給定導體上的電位 就能唯一決定導體外面的電位分佈
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況有關而已
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但是你要怎麼證明現在邊界條件改變了(V變K倍) 則分布情形
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還是一樣只是變K倍?
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可能我比較龜毛 需要從數學式子上看才比較能接受...
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12/25 19:45, , 21F
要證明上面的事情怎麼想都還是要用到Green's function吧
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/你講\
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※ 編輯: profyang 來自: 118.160.192.238 (12/25 19:46)
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是要用green function沒錯 不過寫出來(大概)也只是看他的線性
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關係而已
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12/25 19:47, , 25F
那這樣也跟我文內所打的差不多吧~只是我是直接把它加起
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來了~而你的做法則是要再加上重疊原理
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因為分布情況變K倍電位也會變K倍阿，所以我看到電位變K倍，
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就猜他是分不便K倍，然後再用唯一性證明他是對的
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你的意思是: Dirichlet邊界條件V=>KV 然後猜測電位分布Φ=>KΦ 而KΦ確實滿足lapalace equation 所以KΦ就是它(邊界條件KV)的唯一解? 所以Q=-ε0*δΦ/δn也變K倍?
推
12/25 19:55, , 29F
總結一下我的想法好了，首先你有一個特定結構的導體系統
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※ 編輯: profyang 來自: 118.160.192.238 (12/25 19:56)
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12/25 19:58, , 30F
在結構不變，電荷加倍的情況，電位也必然加倍，故電容(電荷
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跟電位比值)只能跟結構有關(或沒關)
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12/25 20:01, , 32F
恩大概了解你的意思了 總之就是從解的唯一性出發
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12/25 20:03, , 33F
差不多y
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推
12/26 01:06, , 34F
我的想法同T大最後那四行～當電位加倍時 電荷加倍顯然
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12/26 01:07, , 35F
是一解(因為電阻電容電感這些元件都是linear)
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然後又因固定邊界條件後，Laplace eq.的解是唯一的
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12/26 01:08, , 37F
所以一定是整個系統一起linear～
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12/26 01:09, , 38F
btw,你慚愧什麼啊～認真看Jackson就夠厲害了啊～
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12/26 11:22, , 39F
恩謝謝學長~讀Jackson只是想既是號稱研究電磁波的電信所
12/26 11:22, 39F
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12/26 11:23, , 40F
應該要好好把Jackson從頭到尾讀完一次 雖然用不到= ="
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08/13 16:32, , 41F
那這樣也跟我文內所打的 https://noxiv.com
08/13 16:32, 41F
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09/17 14:30, , 42F
是一解(因為電阻電容電 https://daxiv.com
09/17 14:30, 42F
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