Re: [考古] 台大物理上學期 期中(1)
※ 引述《clampinto ( )》之銘言:
: 物理系微積分(上)第二次期中考試題 93年12月10日
:ꄊ: 8. sinx
: (a)f(x)=------ 試証:f在(0,π)上嚴格遞減
: x
: π sinx
: (b)決定k之值使∫│------ - k│dx 最小 (15分)
: 0 x
: ↑
: sinx
: (注意:∫------dx 非基本函數,不要試圖積分它)
: x
: ps.原本還有圖形,畫不出來
:
sinx sint
設 ------ = k 的解為 x = t -> k(t) = ------
x t
π sinx t sinx π sinx
∫ │------ - k│dx = ∫ ------ - k(t) dx + ∫ k(t) - ------ dx = f(t)
0 x 0 x t x
df δf dx δf dt δf δf
---- = ----- ----(t) + ----- ----(t) = -----(t) + -----(t) (x=t)
dt δx dt δt dt δx δt
δf sint sint
-----(t) = {------ - k(t)} + {k(t) - ------} = 0
δx t t
δf t -dk(t) π dk(t) dk(t)
-----(t) = { ∫ ------- dx } + { ∫ -------- dx } = {π-2t}-------
δt 0 dt t dt dt
df dk(t)
-> ---- = {π-2t}-------
dt dt
π
let f'(t) = 0 -> t = ---- or k'(t) = 0
2
sint
d -------
t tcost - sint
----------- = ------------- = k'(t)
dt t^2
k'(t) = 0 -> tcost - sint = 0 -> t = tan(t) -> t = 0
tcost - sint cost -tsint -cost
考慮 lim -------------- = lim ------------------
t->0 t^2 t->0 2t
-sint
= lim ------- = 0 其實t=0本來就是邊界值
t->0 2
所以k有可能是k(π/2) , k(0) , k(π)
在原式中代入 sinx = x - x^3 / 3! 的近似值
應該就可以判斷出最小值在哪
有錯請指正
9.
: 1 1 1
: (a)試証:㏑n>--- + --- + ... + ---
: 2 3 n
: {0 ; x無理數
: {
: (b)f(x)={ 1 q
: {--- ; x=---- p、q互質
: {p p
: 試証:f在[0,1]上Riemann可積分,並求其積分值 (15分)
: (以上九題,任選八題作答)
: 我的天阿,終於打完了...還以為這份題目應該最好打=_=||
: 有空的話在把上學期第一次、第三次,還有這學期第一次的題目貼上來^_^
: (※這是楊老大的考題 老大已經退休了:p)
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◆ From: 218.167.179.21
推
140.136.208.146 05/09, , 1F
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211.74.179.143 05/14, , 2F
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218.167.165.82 05/15, , 3F
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