Re: [回報] 10/22 紐約機考
※ 引述《feynmankao (最愛我的女朋友!)》之銘言：
: ※ 引述《tkotwim (飛刀)》之銘言：
: : 有人追問了，所以加答。
: : 為求完整，所以先複習一下，數字相加後求餘數法，即求(A+B)/C之餘數法：
: : 即A/C之餘數加上B/C之餘數相加(假設此餘數<C，若大於C則再除以C之餘數即是答案)
: : 例子1：
: : (1+2)/4之餘數為1/4之餘數=>1，加上2/4之餘數=>2，等於3<4，所以3即為答案
: : 例子2：
: : (2+3)/4之餘數為2/4之餘數=>2，加上3/4之餘數=>3，等於5但>4，所以5再
: : 除以4，餘數為1
: : 有了以上的結論後，現在開始解題：
: : 先列式，原式即求(1+7^1+7^2+...+7^20) / 14之餘數
: : =>先同提7出來： 7[ (1/7+1+7+...+7^19) / 2]
: : =>再算裡面的餘數： 7[ (1/7+1/2餘數+7/2餘數+...7^19/2餘數) /2 ]
: : =>可得 7[ (1/7+20)/2 ] 之餘數
: : =>再得 7[ 1/7] = 1
: : 所以餘數為1
: : 另解：
: : 要真想不出來，代入算算就可以看出規則，1/14餘數為1，(1+7)/14餘數為8，
: : (1+7+7^2)/14餘數為1，(1+7+7^2+7^3)/14餘數為8，所以加到偶數次方時餘數為1，奇
: : 數為8，題目是加到7^20，所以餘數是1。
: : 以上解法供參考!
: 提供另一個算法
: 7的次方除14一定都餘7 ，easy check: 7^n=14k+r 因為7和14都是7的倍數=>r是7的倍數
: 所以r=0, 7 ，0明顯不合，所以r=7
: 所以這題除14的餘數就成了1+7+7+..+7=1+20*7
: 再除14就餘1了!
我也提供一個很快的看法
題目是(1+7^1+7^2+...+7^20) = 1 + 7(1+7^1+.....+ 7^19)
前面的1無傷大雅 直接看後面的那一團數字
原則1 : 七的任何一個次方都是奇數
所以分析後面那一括號裡面是偶數還奇數就知道可不可以除的盡14了
由於1到7^19共有20項, 所以那括號必然是偶數 (20個奇數相加起來當然是偶數)
那麼後面那整團7(1+7^1+.....+ 7^19)很自然地會被14整除, 那麼餘數就是剩下前面的1了
順便講一下
如果後面是到7^18 所以只有19項呢 那代表後面那團是奇數
所以那(1+7^1+.....+ 7^18)/2餘數就是1,
所以7(1+7^1+.....+ 7^18)/14的餘數就是 7 (因為1*7 = 7)
所以1 + 7(1+7^1+.....+ 7^19) 除以14的餘數就是1+7=8
總之呢餘數不是1就是8
只要分析後面那團是奇數還偶數就可以了 :)
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◆ From: 67.194.57.44
推
10/24 03:25, , 1F
10/24 03:25, 1F
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