Re: [理工] [線代]-對角化
※ 引述《BumbEgg (該期待什麼呢?)》之銘言：
: Find all eigenvalues and a basis for the corresponding eigenspace for the
: ／ 3 1 0 ＼ 100
: matrix . A =∣ 0 1 0 ∣ Use your answer to compute A B
: ＼ 4 2 1 ／
: T
: where B = 〔 2 2 8 〕 .
: -----------------------------------------以上為題目
: 書上解得特徵根為 1 跟 3
: ／ 0 ＼ ／ -1 ＼
: V(1) = ker(A - I) = span( v1 = ∣ 0 ∣ , v2 =∣ 2 ∣ )
: ＼ 1 ／ ＼ 0 ／
: ／ 1 ＼
: V(3) = ker(A - 3I) = span( v3 = ∣ 0 ∣)
: ＼ 2 ／
: -------到這步都還能理解,以下就想不出所以然-------
: 因為 B = 2(v1) + (v2) + 3(v3)
: 100 100
: A B = A 〔2(v1) + (v2) + 3(v3)〕
: 100 100 100
: = 2 A (v1) + A (v2) + 3 A (v3)
: 100 100 100
: = 2× 1 (v1) + 1 (v2) +3×3 (v3)
: =...
: 這是書上的解法,部分打出
: 1.我不了解為何 B 要用, ker 1 跟 3 的 base 去取代 ? 有哪一章節的定理提
: 到這方法嗎 ? 不太能理解為何要這樣處理
: 2.另ㄧ個不懂得點是, A = PD(P^-1) , P與D皆可求出,但書上的解法是直接將
: A的100次方帶入, 而並不是 (P)乘(D的100次)乘(P的反矩陣) 再乘 B 矩陣..
: 3. 若想不出書上的解法式不是只能用( A^100 ) = (P)(D^100)(P^-1)處理?
: 有其他的方法嗎 ? 這題計算還蠻繁複的..
我是指其實解答用的就是你知道的方法
只是你看不出來，大概是不熟悉矩陣運算跟一般算式間的對應
假設A = [v1 v2 v3] 是個矩陣，則 A * [a b c]^t = a*v1 + b*v2 + c*v3
就是說，A乘上一個向量，其實就是以那個向量作係數，產生一組A的行向量的線性組合
回到上面的題目，左邊是原解答，右邊是用矩陣列式
接續算完kernel space後
| A = PD(P^-1)，其中P = [v1 v2 v3]
|
因為 B = 2(v1) + (v2) + 3(v3) | 因為 (P^-1)B = [2 1 3]^t
| 所以 B = P [2 1 3]^t
|
(A^100)B = (A^100)(2v1 + v2 + 3v3) | (A^100)B = (A^100)P [2 1 3]^t
= 2(A^100)v1 + (A^100)v2 + 3(A^100)v3 | = PD^100(P^-1) P [2 1 3]^t
= 2(1^100)v1 + (1^100)v2 + 3(3^100)v3 | = PD^100 [2 1 3]^t
到這步可以看一下，因為D^100 = [1^100 0 0 ]
[0 1^100 0 ]
[0 0 3^100]
右邊的算式把D^100乘到後面的向量就是 P [2(1^100) (1^100) 3(3^100)]^t
再套用上面說的矩陣乘向量展開法，跟左式根本是一樣的
回到你上面的問題:
1. 因為這其實就是對角化計算背後的觀念
利用Ax = λx，把(A^100)B 簡化成 P(λ^100)B'
只是照觀念一步一步做和單純矩陣運算的差別
2. 其實算出[2 1 3]^t，就是把P(D^100)(P^-1)B中的(P^-1)B乘開得來的
3. 當然不一定要用先算出P^-1，然後再乘上B的計算方式
可以用 [P|B] 運算到 [I|(P^-1)B]
或設x = [x1 x2 x3]^t，解[v1 v2 v3]x = B，就是 -x2 + x3 = 2
2x2 = 2
x1 + 2x3 = 8
這題很容易就能解出x = [2 1 3]^t (因為求得的eigenvector裡面0很多)
所以會有解答的算法比較快的感覺，其實都是一樣的作法
就看你覺得哪個計算方式你比較習慣就好
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※ 編輯: ssccg 來自: 218.166.98.161 (08/30 00:47)
推
08/30 09:43, , 1F
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