Re: [理工] [工數]-請教一題拉氏反轉換
※ 引述《MilkerMdot (緣投阿琳)》之銘言:
: 題目
: F(S)= exp(-s^1/2)
: 求拉氏反轉換
: 如果能用複變線積分的算法算出來就更好了
: 我同學說 可以用複變算出來 他要叫我老爸
: 謝謝
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-√s e^(-√s) F(s)
F(s) = e → F'(s) = ──── = ────
-2√s -2√s
F'(s) 1
→ ─── = ─── _____(1)
F(s) -2√s
F''(s) [F'(s)]^2 1
→ ──── - ───── = ───
F(s) [F(s)]^2 4s√s
( 將 (1)式代入上式 , 藉此消去 √s )
F''(s) 1 F'(s)
→ ──── - ── = ────
F(s) 4s -2sF(s)
→ 4sF''(s) + 2F'(s) - F(s) = 0
→ L{ 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) } = 0
→ 4*[(t^2)f(t)]' - 2tf(t) - f(t) = 0
→ 4(t^2)f'(t) + (6t-1)f(t) = 0
4 1 - 6t
→ ─── d[f(t)] = ─── dt
f(t) t^2
→ 4*ln|f(t)| = -1/t - 6ln|t| + 4*c1
-3/2 -1/(4t)
→ f(t) = c2*t * e , where c2 = e^(c1)
接著求 c1:
f(t) s*F(s)
lim ───── = lim ────── by Final Value Theorem
t→∞ t^(-3/2) s→0+ s*L{t^(-3/2)}
F(s)
= lim ─────
s→0+ -2√(πs)
F(s) / (-2√s)
= lim ──────── by L' Hospital's Rule
s→0+ -2√π / (2√s)
1
= ─── ( 注意 F(0+) = 1 )
2√π
-1/(4t) 1 1
即 lim c2*e = ─── → c2 = ───
t→∞ 2√π 2√π
1 -3/2 -1/(4t)
因此 f(t) = ─── * t * e
2√π
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這題我覺得不太可能直接用複變去解
因為 e^(-√z) is analytic for all z 屬於 C
沒有 pole 可以讓你包
且外圍線積分也不會因為 region 擴大使的定積分值收斂至 0
除非事先求 g(s) = e^(-√s) / s^k 之類的的 ILT (用複變解)
然後再跟 f(s) 做 linking
若是直接用 ILT 的公式硬幹的話:
1 a+i∞ -√s st
f(t) = ── ∫ e * e ds , where s = a+bi
2πi a-i∞
( set s^(1/2) = ir )
1 (-a-i∞)^(1/2) -ir -tr^2
= ── ∫ e * e -2r dr
2πi (-a+i∞)^(1/2)
-1 -t*(r + i/2t)^2 -1/4t
= ── ∫ e * e r dr
πi C
2 2
e^(-1/4t) -t*(r + i/2t) i -t*(r + i/2t)
= ──── *[∫ e (r+i/2t) dr - ──∫ e dr]
-πi C 2t C
e^(-1/4t) i √π
= ──── *[ 0 - ── * ─── ] ____ (2)
-πi 2t √t
e^(-1/4t) 1
= ──── * ───
2√π t^(3/2)
(2) 式我直接把積分區間當成正負無窮大去解
所以直接套結論 OTZ
理論上應該要照著積分路徑去積分
只是把實虛部分開算,計算過程會很醜
有算錯別怪我 QQ
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