Re: [理工] 97台大電機C 工程數學第五題
※ 引述《superdevil (綠惡魔)》之銘言:
: http://www.lib.ntu.edu.tw/exam/graduate/97/97410.pdf
: 沒答案阿!!!
: 1
: 積分因子不是應該是------(B的答案) 才對??????
: a(x)
: 還是我觀念錯了???????
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其實不能怪原po, 是很多書上自己也交代不清楚
<1>
通常書上一開始會介紹何謂 一階 ode: y' = H(x,y)
再來介紹何謂 separable: y' = H(x,y) = f(x)/g(y) ____(1)
一階 ode 若具有 separable 的好處
在於它能利用簡單的代數變換法求解:
g(y)*y' = f(x) => dG(y)/dx = f(x)
只要左右兩邊取積分,並且在一個 2D region R 下是 integrable
那就能找出它的通解
這時我們會把 g(y) 稱作是 integrating factor
因為 (1) 式左右同乘 g(y), 使得 LHS 跟 RHS 都取積分運算符即可求解
<2>
接著引進 一階線性 ode: y' + P(x)*y = Q(x)
我們也希望能透過 找出積分因子 I ,來達到相同的目的:
Iy' + IPy = IQ => (Iy)' = IQ
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到這裡就會很自然的引進全微分的概念
亦即假設通解為 F(x,y(x)) = C
=> F_x + (F_y)*y' = 0
寫成 differential form 就是 (F_x) dx + (F_y) dy = 0
所以我們將使 ode 稱作 exact
exact 這一詞本身具有全微分的概念
( differental of F is exactly (F_x) dx + (F_y) dy )
至此,就是工數/微方 崩壞的開始
因為大家只會記得 Mdx + Ndy = 0 是 exact 的必要條件為何
而 integrating factor I 則是一種會 讓 IM dx + IN dy = 0 是 exact 的存在
但 exact 的原意是要讓 ode 具備全微分性質
讓 ode 可以很輕易的求解
我舉一個補習班或一些工數書上最喜歡提到的一個東西
就是 二階線性 ode 是 exact 的判別式:
Py'' + Qy' + Ry = T is exact only if P'' - Q' + R = 0
因為這個性質可以將 二階線性 ode 改寫成:
[Py' + (Q - P')y]' = T
但 補習班/書上 從來不會跟大家提這個:
『
若存在 I(x), 使得 IPy'' + IQy' + IRy = IT 為 exact
則稱 I 為 integrating factor
』
可能也不會提這個:
『
<a> Py' + Qy = R is exact only if P' - Q = 0
this produces: (Py)' = R
<b> I is called integrating factor causing IPy' + IQy = IR is exact
』
可能原因是:
<i> 二階線性 ode 的積分因子太難找
<ii> 一階線性 ode 已經有公式解可以算,沒必要定義何為 exact
<iii> 大家書上都是互相抄來抄去。 越少人提,就越少人抄
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追根究底,工程數學寫得太隨便了
所以定義了很多東西,但到最後串聯起來常常出問題
不然就是知識的教導/使用上, informal 到令人髮指的地步
最後我都說服我自己這是工具,用來解決其它問題
工具如何形成是他人的事情 XD
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