[問題] 組合題濫用看板2

看板IMO_Taiwan作者darkseer ( )時間6年前 (2018/08/27 07:40)推噓4(4推 0噓 13→)

留言17則, 4人參與討論串1/2 (看更多)

我又要來濫用看板啦！在表現理論(representation theory)的研究裡，我們知道組合常常有深刻的應用。對於一個正整數n，我們考慮n的所有partitions，例如n=4時，我們把它們記為(1111), (211), (22), (31), (4) 現在我有一個吃partition吐出正整數的未知函數，不知道為什麼它是well-defined，但偏偏好像是。用電腦跑例子出來它的值是： f(1)=1, f(11)=1, f(2)=2, f(111)=1, f(21)=3, f(3)=3, f(1111)=1, f(211)=4, f(22)=2, f(31)=4, f(4)=4, f(11111)=1, f(2111)=5, f(221)=5, f(311)=5, f(32)=5, f(41)=5, f(5)=5 f(111111)=1, f(21111)=6, f(2211)=9, f(222)=2, f(3111)=6, f(321)=12, f(33)=3, f(411)=6, f(42)=6, f(51)=6, f(6)=6 f(1111111)=1, f(211111)=7, f(22111)=14, f(2221)=7, f(31111)=7, f(3211)=21, f(322)=7, f(331)=7, f(4111)=7, f(421)=14, f(43)=7, f(511)=7, f(52)=7 f(61)=7, f(7)=7, f(11111111)=1, f(2111111)=8, f(221111)=20, f(22211)=16, f(2222)=2, f(311111)=8, f(32111)=32, f(3221)=24, f(3311)=12, f(332)=8, f(41111)=8, f(4211)=24, f(422)=8, f(431)=16, f(44)=4, f(5111)=8, f(521)=16, f(53)=8, f(611)=8, f(62)=8, f(71)=8, f(8)=8 所以這個函數究竟是什麼啊啊啊啊啊!!!?? 教我這個函數是什麼的人，他的名字可能有5%機率出現在某個猜想上吧XD ---- 喔耶我知道了，提示(按\開燈看)： (1)把奇數長和偶數長的給異號，例如f(111)=1, f(21)=-3, f(3)=3。 (2)看成S_n的rep'ns 結果在組合書(MacDonald, Symmetric functions and Hall Polynomials 第二版，習題2.20) 裡的習題(一題一題看XD)找到了很短的closed formula! 隔一頁防雷再開燈看好了，看到之後，覺得怎麼就沒想到呢... closed formula: l(u)=u的長度，例如l(522)=3, u_i表示每個相同數字的部分，例如 u=522就有u_1=5, u_2=22，則f(u)=n*(l(u)-1)!/\prod l(u_i)! 例如f(544432211)=26*8!/3!*2!*2! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 24.5.70.218 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/IMO_Taiwan/M.1535326812.A.F18.html

→

darkseer

08/27 15:43, 6年前 , 1^F

08/27 15:43, 1^F

推

Dawsen

08/27 22:35, 6年前 , 2^F

08/27 22:35, 2^F

→

darkseer

08/27 23:33, 6年前 , 3^F

08/27 23:33, 3^F