Re: [微積] ODE
※ 引述《young11539 (〝☆小小霈★”)》之銘言：
: 一題有關於ODE方程組的問題
: ds(t) a*h^(3/2)
: ---- = ---------
: dt s
: dh(t) a*h^(3/2) b*h^(3/2)
: ---- = ---------- -
: dt s
: a b is constant
: and h(0)=s(0)=0;
: 請問有辦法求出s h 的顯函數形式嘛?
: 謝謝!
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( 以下算法考慮 a、b≠0 )
┌ s' = (a/s)*h^(3/2) ____(1)
└ h' = (a/s)*h^(3/2) - b*h^(3/2) ____(2)
把 (1)式帶入 (2)式 可得:
h' = s' - (b/a)ss'
→ h = s - (b/2a)s^2 + C1
由 h(0)=s(0)=0 易知 C1 = 0
所以 h = s - (b/2a)s^2 ____(3)
再將 (3)式 帶回 (1) 式:
s' = a(1-ks)√(s - ks^2) , 其中 k = b/(2a)
(at)^2
解得 s(t) = ────── ( 已考慮 s(0)=0 )
4 + k(at)^2
4(at)^2
在根據 (3)式 可得 h(t) = ────────
[4 + k(at)^2]^2
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不確定對不對，感覺有點怪怪的 = =ll
solution 可能不只一條，只是那些都是 weak solution
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.47.130
推
02/28 00:17, , 1F
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推
02/28 00:24, , 2F
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→
02/28 00:24, , 3F
02/28 00:24, 3F
推
02/28 00:39, , 4F
02/28 00:39, 4F
假設先不管 initial value 的條件:
s' = a(1-ks)√(s - ks^2)
1
→ ∫ ─────────── ds = at + C
(1-ks)^(3/2) * s^(1/2)
1
→ ∫ ─────────── ds = at + C
[(1/s)-k]^(3/2) * s^2
-1
→ ∫ ──────── d(1/s) = at + C
[(1/s)-k]^(3/2)
→ 2[(1/s) - k]^(-1/2) = at + C
(at+C)^2
再稍微整理一下可得 s(t) = ───────
4 + k(at+C)^2
而 singular solution 滿足 (1-ks)√(s - ks^2) = 0
或是 s(t) = (1/k) or 0
而這裡的 s(0)=0 恰好會決定出 s(t) 通解曲線族中的其中一條 (C=0)
----
其實我個人的疑問是
原 o.d.e. 組中， s'(0) 和 h'(0) 並未 defined
所以最後的 solution 還需要分區段去討論以滿足原題
或許一開始的題目改寫成解 ┌ ss' = ah^(3/2)
└ sh' = ah^(3/2) - bsh^(3/2)
s(0) = h(0) = 0
會比較恰當
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.47.130 (02/28 02:16)
推
02/28 14:24, , 5F
02/28 14:24, 5F
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