[複變] 複變積分兩題
大家好，我有兩題複變積分請教:
1. 這題上次有描述過，我把我的過程寫清楚:
∞
∫ e^(-x^2) dx = √π
-∞
sol> 取實軸負無限大到無限大，再繞半徑無限大的上半圓回去的路徑C，那麼
∞
∮ e^(-z^2) dz = ∫ e^(-x^2) dx + ∫ e^(-z^2) dz = 0 (不包含奇點)
C -∞ Cr
(r→∞)
分析等號右邊第二項:
z = δe^(iθ)
dz = iδe^(iθ)dθ π
∫ e^(-z^2) dz ================== ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ
Cr 0
π iδe^(iθ)dθ
= ∫ ────────── 當δ→∞:
0 e^[(δ^2)e^(i2θ)]
iδe^(iθ) H ie^(iθ)
lim ────────── = lim ─────────────── = 0
δ→∞ e^[(δ^2)e^(i2θ)] δ→∞ 2δe^(i2θ)e^[(δ^2)e^(i2θ)]
π
∫ e^(-z^2) dz = ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ = 0
Cr 0
∞
∴ ∫ e^(-x^2) dx = -∫ e^(-z^2) dz = 0
-∞ Cr
不曉得哪邊做錯了?
2. 這題課本的方法是用rectangular contour
∞ e^(ax) π
∫ ───── dx = ───── , 0 < a < 1
-∞ 1 + e^x sin(aπ)
而我的路徑C是從實軸負無限大到無限大，然後繞下半圓回去
e^(az) ∞ e^(ax) e^(az)
∮ ───── dz = ∫ ───── dx + ∫ ───── dz = 2iπa
C 1 + e^z -∞ 1 + e^x Cr 1 + e^z -1
(r→-∞)
其中，residue經計算:
-e^(az) │
a = ──────────────────── │ = -e^(-iaπ)
-1 1 + [(z+iπ)/2!] + [(z+iπ)^2/3!] + ... │z=-iπ
而
z = δe^(iθ)
e^(az) dz = iδe^(iθ)dθ 0 e^[aδe^(iθ)]
∫ ───── dz ================== ∫ ───────── iδe^(iθ)dθ
Cr 1 + e^z π 1 + e^[δe^(iθ)]
當δ→-∞，積分似乎是發散的
請問我的算式過程哪邊有錯誤?
先感謝各位的解答m(_ _)m
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Maxwell's equations in the matter: ┌───┐ ┌───┐
┌──────┐┌──────┐┌────┘ → │┌──────┘ → │
│ → ││ → ││ → δＢ ││ → → δＤ │
│ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │
│ f││ ││ δt ││ f δt │
└──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘
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◆ From: 140.112.211.87
→
03/25 21:47, , 1F
03/25 21:47, 1F
推
03/25 23:42, , 2F
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