Re: [微積] 積分因子
※ 引述《dkcheng (電磁霸主)》之銘言：
: Find an integrating factor
: xy^2-cosxsinx
: y'= ----------------
: y(1-x^2)
xy^2-cosxsinx
dy = ──────── dx 乘積分因子 I1= y(1-x^2)
y(1-x^2)
y(1-x^2) dy = xy^2dx-cosxsinxdx
ydy=xy^2dx+yx^2dy-cosxsinxdx
0.5dy^2 = xy(ydx+xdy) -sinx(dsinx)
0.5dy^2 = xy d(xy) -0.5 d(sinx)^2
0.5dy^2 = 0.5d(xy)^2 -0.5 d(sinx)^2 乘積分因子 I2=2
dy^2 = d(xy)^2 -d(sinx)^2
y^2 = (xy)^2 - (sinx)^2 +c 為隱函數解
本題積分因子 I=I1‧I2=2y(1-x^2)
說明：
本題為非正合
必須乘上積分因子 才能使方程式成為正合(exact)ODE
exact為何要翻成"正合"呢？
意思就是說 乘上積分因子後 ODE"正"好可以"合"併
所以 找解過程中 欲使式子合併成 df+dg+dh+.....=0 , f=f(x,y), g=g(x,y), h=h(x,y)
必須適當的乘上適當的I(x,y),使其能順利合併
而求解過程中 可能不只乘一次 可能會乘好幾次
而最終的積分因子 就是在找解過程中
乘的所有項
本題為例 由題目出發
最後合併成
dy^2 - d(xy)^2 + d(sinx)^2 =0
共乘了I1和I2
是故 最終的積分因子 即為I(x,y)=I1‧I2 "‧"表二式相乘
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