Re: [微積] 請問兩題關於級數的問題
※ 引述《chien0525 (雙子男)》之銘言:
: 題目是
: Suppose that 0 < p,q < 1 , p + q = 1
: ∞ x-1
: (a) Σ x p q = ?
: x=1
∞ k-1 ∞ k-1 ∞ k ∞ k ∞ k 1 1
Σ k (1-q) q = Σ k q - Σ k q = Σ (k+1)q - Σ k q = ── = ─
k=1 k=1 k=1 k=0 k=0 1-q p
: ∞ 2 x-1
: (b) Σ x p q = ?
: x=1
∞ k-1 1 ∞ k ∞ k 1
Σ k x = ──── = Σ (k+1) x = Σ k x + ───
k=1 (1-x)^2 k=0 k=0 1-x
∞ 2 k-1 ∞ 2 k-1 ∞ 2 k ∞ 2 k ∞ 2 k
Σ k (1-q) q = Σ k q - Σ k q = Σ (k +2k+1) q - Σ k q
k=1 k=1 k=1 k=0 k=0
∞ k ∞ k 2 1 2-p
= 2 Σ k q + Σ q = ──── - ──── = ───
k=0 k=0 (1-q)^2 1-q p^2
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◆ From: 140.112.4.183
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