Re: [幾何] 幾何證明
※ 引述《delon (delon)》之銘言：
: Desargue定理:
: 做出兩個三角形ABC與A'B'C',使得AA'、BB'與CC'三線共交於一點O'
: 做出BC與B'C'的交點P,CA與C'A'的交點Q,AB與A'B'的交點R
: 則發現PQR三點共線
: 請問這要怎麼證明呢??
: 謝謝
http://imgur.com/MnEBU
利用有向的孟氏定理:
OA' AQ CC'
--- * -- * --- = -1
A'A QC C'O
OC' CP BB'
--- * -- * --- = -1
C'C PB B'O
OB' BR AA'
--- * -- * --- = -1
B'B RA A'O
把這些式子都相乘並把能消的消一消 會得到:
AQ CP BR
-- * -- * -- = -1
QC PB RA
因此 PQR共線 by 孟氏逆定理
順便證一下逆定理:
有ABC跟A'B'C'三角形
做出BC與B'C'的交點P,CA與C'A'的交點Q,AB與A'B'的交點R
若PQR共線 則AA'、BB'與CC'三線共交於一點O
Proof:
設AA', BB'交於O, Claim: OCC'共線
考慮三角形AQA'和三角形BPB',
AB, QP, A'B'皆交於R (因為R為AB與A'B'交點 又PQR共線)
由desargue正定理知AA'與BB'交於O, A'Q與B'P交於C', AQ與BP交於C, 則OCC'共線.
Note: 看的時候請一邊配圖服用 不然一定會昏掉..
(剛好明天期中考考這個.....)
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※ 編輯: aegius1r 來自: 111.250.65.242 (12/01 23:44)
推
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