Re: [其他] 一題組合級數

看板Math作者realtemper (精彩不亮麗)時間12年前 (2012/04/01 16:33)推噓6(6推 0噓 8→)

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這可以數歸啊～跟一般作法沒什麼不同一樣是在 n=N+1 的求和式裡面，把 n=N 的部份(已知)硬拆出來，剩下再硬算.... pf: n (n+k)! n 假設 Σ ──── = 2 n! 在 n=N 時成立 (當然 n=0,1 時顯然成立) k=0 k 2 k! 則 n = N+1 時 N+1 (N+1+k)! N+1 (N+k)! Σ ───── = Σ ──── (N+1+k) k=0 k k=0 k 2 k! 2 k! N (N+k)! N (N+k)! (2N+2)! = (N+1) Σ ──── + Σ ──── k + ────── k=0 k k=0 k N+1 2 k! 2 k! 2 (N+1)! ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ (1) (2) (3) 級數的已知部份級數隨k變動的部份多出來的一項 N N (1) = (N+1) 2 N! = 2 (N+1)! (by n=N 成立之假設) N (N+k)! 1 N-1 (N+1+k)! (2) = Σ ──── = ─ Σ ───── k=1 k 2 k=0 k 2 (k-1)! 2 k! 1 N+1 (N+1+k)! (2N+1)! (2N+2)! = ─ [ Σ ───── - ───── - ────── ] 2 k=0 k N N+1 2 k! 2 N! 2 (N+1)! ^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 此即欲求之級數和,記為 x 把第N與N+1項扣回來 (因為還不知道 n=N+1 是否成立) 1 (2N+1)! = ─ x - ──── 2 N 2 N! 故 N 1 (2N+1)! (2N+2)! x = (1) + (2) + (3) = 2 (N+1)! + ─ x - ──── + ────── 2 N N+1 2 N! 2 (N+1)! 1 N ─ x = 2 (N+1)! 2 N+1 x = 2 (N+1)! by 數學歸納法 QED -- ╰═╞╤ ╤╕ ╪╪╒══╮ ╤╧╤╒═╮╭═ ╪╕ ═ ╒╮╧══╪ 就是愛大姐... ｜｜｜｜｜╞══╡ ｜｜╞═╡╭╤ ╧╧ ｜｜╭═╤╯ + ╭──╮ ╰╤ ｜｜｜｜｜｜｜ ╧═╧｜｜｜｜╒═╮╤ ╞╕╭═╪╛ ● ｜咬我｜｜｜╞ ｜｜｜｜｜｜ ═╪═╞═╡｜｜╰═╛｜｜｜╭─╪╮ ＜＞┤阿！｜｜｜｜｜╯ ｜｜╞══╡ ｜｜｜╞╤╛｜｜╒╪ ｜｜╯｜｜｜ ∕﹨ ╰──╯ ｜╧╧ ｜ ╰╪╧══╧ ╛ ╯╘╯ ╯╘╪╯╛ ╰ ╰ ╛╰ real㊣temper -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.27.8.97

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realtemper

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