Re: [微積] 如何證明lim sinx/x=1如果面積概念未

看板Math作者 (Paul)時間9年前 (2015/02/27 13:30), 9年前編輯推噓4(4推 0噓 46→)
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※ 引述《sightseer ()》之銘言： : 常見的證明lim sinx/x=1 as x approaches 0的方法如下(夾擠定理) : http://tinyurl.com/kgkuehy : 其中用到 扇形OKA的面積=1/2*R^2*x : 但是這已經先假設我們已知如何定義並計算扇形面積了 : 所以如果"面積"概念尚未定義的情況下 : lim sinx/x=1如何證明? 我們直接想從圓的弧長要得到sin的微分性質是非常困難的 因為弧是曲線 要嚴格地證明曲線長度是否存在 非常費勁 另一方面 我們從面積出發 卻很容易嚴格地證明圓面積存在(有界連續函數的定積分) 我們把單位圓的面積記作 A 在數值上可以實際去計算 大約是3.14159... 圓的圓心角是四個直角 我們用角度量來記是360 現在我刻意避免使用徑度量來記角度 因為徑度量牽涉到圓周長 我們尚未能嚴格證明它存 在 於是 我們採用一種新的度量記法 叫做角的面度量 我們把 圓的圓心角 記作2A 現在我們將三角函數中的角度一律以面度量表示 則很容易從面積的關係得到 lim sin θ / θ = 1 注意 上式的 θ 是以面度量表示 因此 三角函數的微積分大樓從此蓋起 然後我們開始嚴格定義弧長 於是可證明單位圓的弧長是存在的而且正是2A 請見附圖 http://imgur.com/87WRO3s
正如用度度量來記角度一樣 用角的面度量來記角度 所有高中的三角函數公式完全適用 http://imgur.com/ZuvfxtH
如果大家覺得没有問題的話 我想把這篇文章整理一下投到 數學傳播季刊 如果投中的話 稿費將拿來請各位討論此系列文的板友吃雞排 -- Sent from my Android -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.229.234 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1425015008.A.A97.html ※ 編輯: JohnMash (123.194.229.234), 02/27/2015 13:43:29
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不要再科普說明了，這樣你會再受到攻擊
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這是非常非常嚴格的證明
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推
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至少我看了五分鐘, 還沒看到哪裡有不嚴謹~
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我們一直把自己限制在以徑度量表示角度 以至於對三
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角函數的可微性質之嚴格性高度質疑 但是角度一旦以
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面度量表示 一切迎刃而解
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這份證明後面的細節用了你之前po過的一些部分
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因為你po過了, 所以你省略掉了, 不知道方不方便
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把圖剪接一下兜在一起成為完整的證明,以便我跟其他
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後面才follow這討論串的版友看
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推
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我想想看
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如果我沒理解錯，應該是先(以積分)定義單位圓面積
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=A，然後面度量和面積成比例(這是定義?)
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tan, sin也是用面積做定義?
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稍微想了一下，若要以此為基礎，導出圓周長，甚至
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連sin'=cos都不用了，可以利用(sqrt(1-t^2),t)
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當參數，然後用S|r'(t)|dt和分部積分導出
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還有我始終覺得這好像還是以積分定義常數pi耶
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沒有, John的意思只是證明"半徑=1的圓面積存在"
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至於它和半徑有什麼關係, John完全不去處理
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至於半徑=2的圓面積是否存在, 也不需去處理
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不去處理無謂的東西,只專注在需要的,這樣就不會去
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勾搭到有的沒的的東西,造成麻煩.
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他sin,cos的定義還是單位圓的定義
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他在把對圓的知識壓縮在最有限的狀況之下,去證明這
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個. 但是後面的夾擠部分我還沒check
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整理一下，先證明單位圓面積存在，然後定義角度度量
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但不是傳統採用弧長比的，是用面積比的
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在這度量下，定義三角函數sin,cos,tan, etc
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面積間的不等式不太確定是用高中那套出來的
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還是座標x,y參數訂出來的
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最後是 x/2 < tan(x/2)如何得出sinx > x?
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推
02/27 22:15, , 33F
原來還可以投期刊呀 那會不會有板眾搶先一步
02/27 22:15, 33F
不會有問題啦 因為我已經先寫在這裡了 就像有人投期刊前 先把文章放在arXiv網站上 數學傳播季刊是數學普及刊物 不是什麼學術期刊
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02/27 22:29, , 34F
John, 你用了夾擠, 換言之用了 lim(x->0) cos x=1
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就像用徑度量或度度量來記角度時類似的方式 http://imgur.com/nVAKAqY
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請問你怎麼證這個?
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我還覺得其中有三個問題, 希望你能接招XD
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推
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limcos不難,given e>0,畫x=1-e的鉛垂線
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嗚，其實我搞不太懂是不是還要引進什麼Axiom才會比
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較容易讓人知道那些圖形關係的原因?
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cos^2+sin^2=1是畢氏定理，能單純從面積和面度量得
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來嗎?
02/27 23:01, 41F
我什麼都没有更動 只是角度以面度量來記而已 畢氏定理在歐氏空間永遠是對的 ※ 編輯: JohnMash (123.194.229.234), 02/27/2015 23:14:43
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可能我想太多了，精神錯亂XD
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用跟歐式空間用一樣的norm應該沒問題
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02/27 23:53, , 44F
我自己把lim(x->0)cosx=1的證明想出來了
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不過不是用你的.
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02/27 23:53, , 46F
"然後我們開始嚴格定義弧長, ..."
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02/27 23:54, , 47F
但我看你的圖片檔裡面好像沒有搭到弧長的概念
02/27 23:54, 47F
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我覺得弧長只能從(sqrt(1-t^2),t)，和S|r'(t)|dt
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然後作分部積分得到
02/28 00:14, 49F
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目前我覺得這樣做比較合理
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