Re: [學術] 霍爾 (內有決勝21點小雷)
※ 引述《LoIn (LoIn)》之銘言：
: ※ 引述《Yolei (yolei)》之銘言：
: 主持人(他就叫霍爾)邀請一位來賓 在三個關起來的門之中猜哪一道後面是大獎
: 在來賓選擇之後
: 主持人會在你不選的那兩道門之中 開啟另一道沒獎的門
: 再問來賓要不要改變原先的決定 選擇另一道關著的門
: 假如是你 要不要換呢?? (前提是你想中獎)
: 也就是說 to change, or not to change. 中獎的機率比較大 還是一樣??
我似乎比較清楚了，這的確是條件機率（聯合機率密度函數 XD.）問題
(1) 假設來賓一開始選Ａ，則：
Ａ有獎，P = 1/3
Ｂ有獎，P = 1/3
Ｃ有獎，P = 1/3
(2) 既然來賓一開始選Ａ，則主持人需要在Ｂ／Ｃ兩門中開一個沒獎的門給來賓看：
Ｂ有獎 => 開Ｃ，P = 1/4
Ｃ有獎 => 開Ｂ，P = 1/4
皆沒獎 => 開Ｃ，P = 1/4
皆沒獎 => 開Ｂ，P = 1/4
因此，開Ｂ機率 = 1/4 + 1/4 = 1/2
開Ｃ機率 = 1/4 + 1/4 = 1/2
注意：主持人知道Ｂ／Ｃ有沒有獎，且不會開有獎的門。
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(3) 在此，先將聯合機率分配表列出：
| | | |
| Ａ有獎 | Ｂ有獎 | Ｃ有獎 | 開門機率加總
------------------------------------------------------------------------
| | | |
開Ｂ| 1/3 * 1/2 = 1/6 | 1/3 * 0 = 0 | 1/3 * 1 = 1/3 | 1/6 + 1/3 = 1/2
| | | |
------------------------------------------------------------------------
| | | |
開Ｃ| 1/3 * 1/2 = 1/6 | 1/3 * 1 = 1/3 | 1/3 * 0 = 0 | 1/6 + 1/3 = 1/2
| | | |
------------------------------------------------------------------------
中獎| | | |
機率| 1/6 + 1/6 = 1/3 | 0 + 1/3 = 1/3 | 1/3 + 0 = 1/3 |
加總| | | |
(4) 由步驟(2)(3)可知
(a) 給定主持人開Ｃ的條件下，Ａ中獎的機率為：
主持人開Ｃ且Ａ中獎的機率 (交集) 1/6
--------------------------------- = ----- = 1/3
主持人開Ｃ的機率 1/2
(b) 給定主持人開Ｃ的條件下，Ｂ中獎的機率為：
主持人開Ｃ且Ｂ中獎的機率 (交集) 1/3
--------------------------------- = ----- = 2/3
主持人開Ｃ的機率 1/2
(c) 給定主持人開Ｃ的條件下，Ｃ中獎的機率為：
主持人開Ｃ且Ｃ中獎的機率 (交集) 0
--------------------------------- = ----- = 0
主持人開Ｃ的機率 1/2
綜合(a)(b)(c)三種情境，其機率和為 1/3 + 2/3 + 0 = 1，故得證＃
＊＊＊ 題外話 ＊＊＊
以前小時後看類似的綜藝節目（例如恐怖箱三選一），通常是來賓先選後，
主持人跑到門後看過，再向來賓針對每個門「擠眉弄眼」，做出好像該選或
不該選的表情，而不是打開一扇沒獎的門。
若是如此，則主持人的任何表情都不會影響到三個箱子的中獎機率。（前提
是主持人表情真假參半）
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這樣的夜 熱鬧的街 問妳想到了誰緊緊鎖眉
我的喜悲 隨妳而飛 擦了又濕的淚與誰相對
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