Re: [問題] 請問分離變數法和group theory 有關係嗎?
※ 引述《kuromu (kuromu [30mN)》
: spherical polar coordinates upon substituting the eigenvalue l(l+1) for L .
: ◎For cylindrical coordinates the PDE is invariant under rotations about the
: z-axis only,which form a subgroup of SO(3),This invariance yields the generator
: Lz=-i(∂/∂φ) and separate azimuthal ODE LzΨ=mΨ as before.Invariance under
: translations along the z-axis with the generator -i(∂/∂z) gives the separate
: ODE in the z-variable provided the boundary conditions obey the same symmetry.
: The potential V=V(ρ) or V=V(z) depends on one variable,as a rule.
: ◎In general,there are n mutually commuting generators H with eigenvalues m
: i i
: of the (classical) Lie group G of rank n and the corresponding Casimir
: invariants C with eigenvalues c ,which yield the separate ODEs
: i i
: H Ψ=m Ψ C Ψ=c Ψ
: i i i i
: in addition to the radial ODE HΨ=EΨ.
這是說,方程式原來是一個PDE,但透過觀察,我們發現方程式的解有一種對稱性,
柱座標下對Z軸對稱,所以方程式invariant under rotations.
把那些rotation,也就是座標變換矩陣收集起來,就形成一個SO(3)群.
又因為解是對稱的,固定Z座標後,解就是一個radial function.
於是原來的PDE就可以化為兩個ODE求解
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.115.222.140
討論串 (同標題文章)
本文引述了以下文章的的內容:
完整討論串 (本文為第 2 之 2 篇):