Re: [考古] 利用馬克勞林求極限
※ 引述《kkgfdsaa (Jared)》之銘言：
: tan(sinx)-sin(tanx)
: lim －－－－－－－－－－－ = A
: x→0 x^α
: Ans:α=7 A=149/1680
: tan(sinx) = x + (1/6)x^3 + (-1/40)x^5 + (-3/560)x^7 +.......
: ^^^^^^^ ^^^^^^^
x^7正確應該是-107/5040
: sin(tanx) = x + (1/6)x^3 + (-1/40)x^5 + (-79/840)x^7 +......
: ^^^^^^^ ^^^^^^^^
x^7正確應該是 -55/1008
: 小弟不知道為什麼^^^^^是這樣的係數
: 算了好久= =
應該有更好方法
我是採用泰勒展開式 在各項展開 原本先找x^5 不過發覺不夠還是要x^7以上
提供給你參考
先了解Sinx = x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7! +..................
Tanx = x+x^3/3 + 2x^5/15 +17x^7/315 + 62x^9/2835 +..........
考慮x^7係數 Sinx 約為x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7! 不考慮其他的x^9......
Tan(Sinx)= (x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!+...)
+(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!+...)^3/3
+2(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!+....)^5/15
+17(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!+....)^7/315
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!+...)^3 2個x 1個(-x^3/3!) 可互相換
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)* (x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)*
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!) 3個括弧可以先抽
(x,x,-x^3/3!) (x,-x^3/3!,x)(-x^3/3!,x,x)
所以 (x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^3 的x^5係數1*1*(-1/6)*3=(-1/2)
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^3/3的x^5係數-1/6
2(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^5/15的x^5係數 2/15
同理x^7係數 (x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!) =-1/7!
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^3
(x,x,x^5/5!)(x,-x^3/3!,-x^3/3!)
3*(1*1*1/5!)+3*(1*(-1/6)*(-1/6))=13/120
(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^3/3 x^7係數 (13/120)/3=13/360
2(x-x^3/3! +x^5/5! -x^7/7!)^5/15
(x,x,x,x,-x^3/3!)
(2/15)*5*(1*1*1*1*(-1/6))=-1/9
17(x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!)^7/315 x^7係數 17/315
整理一下 x 只有一次方 係數1
x^3 -1/3!+1/3=-1/6+1/3=1/6
x^5 1/5!-1/6 +2/15=-1/40
x^7 -1/7!+ (13/360)+(-1/9)+17/315 =-107/5040
你的答案的x^7係數都錯了
同理Sin(Tan(x))
(x+x^3/3 + 2x^5/15 +17x^7/315+..)
-(x+x^3/3 + 2x^5/15 +17x^7/315)^3/3!
+(x+x^3/3 + 2x^5/15 +17x^7/315)^5/5!
-(x+x^3/3 + 2x^5/15 +17x^7/315)^7/7!
整理一下 x 只有一次方 係數1
x^3 (1/3)-(1/6)=1/6
x^5 (2/15)-(1/3!)*3*(1*1*1/3)+1/5! =-1/40
x^7 17/315-(1/3!)*3{1*(1/3)*(1/3)+1*1*2/15}
+(1/5!)*5*(1*1*1*1*1/3)-1/7!=-55/1008
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推
04/28 19:04, , 1F
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