Re: [問題] pole 與 zero 的意義

看板Electronics作者deathcustom (litron-intl)時間12年前 (2012/06/13 14:24)推噓11(11推 0噓 26→)

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※ 引述《jamtu (月光下的智慧)》之銘言： : ※ 引述《ZRong (21)》之銘言： : : transfer function = Vo/Vi = p(s)/q(s) : : p(s)為zero的多項式 : : q(s)為pole的多項式 : : 先從pole來說好了數學的角度說transfer function要為無限大 : : 我們往往是令q(s)=0以獲得如此結果 : : 或者用電路的角度來看就是讓Vi=0的時候 Vo=/=零 : : 再換句話說就是沒有輸入的時候輸出不為零的樣子 : : 那麼什麼時候上面那句話會發生呢？ : : RC電路為例 : : Vi---^V^V^V^V^V^V----------------Vo : : R | : : === C : : | : : GND : : 當Vi=0 若Vo不要等於零那唯一可能性就是電容儲存電荷 : : 假使如此那從電路學的分析來看 Vo波形就是exp函數了 : : 而且time constant=RC : : 所以總括上面的實驗來看 : : 讓系統的Vi為零觀察Vo的反應自然得到該系統的"特性" 例如本例中的time constant : : 這樣的特性就是pole : 你所描述的是找pole的方法，而不是"pole frequency"是怎麼被推論得到的 : 這之中有邏輯的錯誤： : "無限大"的概念是發生在 s = -1/RC 注意s是負值 : 也就是你令 s = -1/RC 能夠讓 q(s) = 0 : 但是你在討論實際的case中，你引用了"無限大"的概念 : 也就是你描述到找出一個電路，來讓Vout不等於0，when Vi = 0 : 前者我們找到 s = -1/RC，後者我們發現RC = time constant : 同樣你以"無限大"出發 : 但是你無法合理解釋的事情是為什麼會差一個負號 : 直觀上，要有 s = -1/RC才會有無限大這種事情發生 : 而我們在電路的case看不到負號這樣的東西 : 這是99.9%的人學習的最大痛點 : 最後要理解這些事情根本的原因，你還是得從頭來 : 我所不接受的點是硬塞一個"無限大"的概念在RC電路裡頭 : 去說initial state是電容有電，然後RC放電 : 看似有邏輯，其實不然 : 這個東西　不是這樣導証的 : 事實上根本也不用加入"無限大"這個概念來看 : 直接去記得RC是pole frequency就可以了 : 我舉一個等價的謬論： : 我們令p(s)=0 可以得到zero，也就是Vi不管是多少，Vo都是zero : 而在上述的電路中，唯一可能的解就是一開始電容沒有電 : 而且系統會隨著RC time constant充電到Vo跟Vi一樣 : 於是我們說，這個電路有一個zero是1/RC : 如果你要證明我錯，你必須回到fundamental : : 順帶一題系統的"特性"和pole 很直觀的可知和輸入信號是無關的 : : 如果把上述電路帶入bode圖來看 : : 若Vi頻率遠小於系統的pole : : RC充放電的反應速度很足夠 : : 所以Vo永遠追的上Vi : : 在圖上看到的就是平的 : : 反之 : : Vi頻率過高 Vo就追不上Vi了 : : 所以Bode圖就看到往下掉的現象 : : 不但會掉下來而且還發現會有Vo落後Vi的現象所以會有phase plot : : 至於Vo能否追上Vi : : 我們把轉折點視為pole的頻率 : : 這樣定義可以用很多觀點來理解 : : 其中一個是在跟頻率的時候電阻和電容的阻抗是一樣的 : : 至於zero 就是讓p(s)為零 : : 或者說特定的Vi造成Vo始終為零 : : 這個可以先想想怎樣才會發生上述的情形........ : 我們在實際電路中的確能夠去解這樣的case : 而我同樣不認為在你解出s等於多少 : 寫入轉移函數中 : 這個轉移函數會有任何"零"的特性 : : ........... : : 先到這裡吧 : : bbs系統不是很好回應問題 : : 另外物理意義乃是看待數學的一種觀點會因人或因領域而異 : : 歡迎指教 : 要用物理觀點去理解 pole/zero : 絕對不能認為 : pole => 在電路裡面看得到無限大 : zero => 在電路裡面某個case會有output = 0 : 他們在轉移函數的數學定義上，與在電路中造成的影響不一樣 : 你應該能夠從經驗去了解並導証以下現象(不包括所有case) : LHP pole => 電路裡面有RC放電的情形 : RHP pole => 等效出一個負電阻，有人在給他能量或是自我trigger，越生越大 tacata : LHP zero => overshoot in step response : RHP zero => 米勒電容讓你的gain掉不下去但是phase拼命掉接負回授震盪QQ : 從以上的case我們可以發現 : 會有無限大概念的是 RHP pole : 而在zero裡面我們看不到"零"這個概念 : 反而在RHP zero接負回授以後有人要震盪了，又是個無限大的概念 : 千萬千萬千萬千萬不要 : 嘗試從"pole是無限大，zero是零"的角度來理解電路 : 電路不是在pole，zero上使用 : 而是在pole frequency，zero frequency上面使用 : 要理解其行為還是得從基本做起來整個電路要從"微分方程"解轉移函數開始講對一個RC電路根據其"物理意義" Q(t) = CVc(t) = ∫i(t)dt C*dVc(t)/dt = i(t) = [Vi(t) - Vc(t)]/R 然後解出來 (微分方程的細節不再贅述) 由於拉普拉斯的概念 sCVc - Vc(0) + Vc/R = Vi/R (sRC + 1)Vc = Vi + RVc(0) Vc = Vi/(sRC + 1) + RVc(0)/(sRC + 1) 然後我們根據Vi(t)轉出Vi(s)去解Vc(s)最終得到Vc(t) 這是另一條解Vc(t)的方法先來說說一般來說"電機上的定義" 所謂的bandwidth是Vc/Vi > 1/sqrt(2)的區域把傅立葉考慮進來 Vc(jw) = Vi(jw)/(1 + jwRC) |Vc| = |Vi|/sqrt[1 + (wRC)^2] 所以結論上頻寬的某個邊界是 1 + (wRC)^2 = 2, (wRC)^2 = 1 well, 我們發現 w = 1/RC 在此一基礎上，又發現當w < 1/RC時，轉移函數的衰減較慢不管頻率怎麼變動，轉移函數基本都在同一個數量級(廢話) w doesn't dominate the transfer function. w > 1/RC時，轉移函數衰減 -20dB/decade w dominates the transfer function. 也就出現了一個POLE之後就會 -20dB/dec 另外關於phase shift Vi(t) = cos(wt)則其Vi(s) = s/(s^2 + w^2) 那根據上面的做法 Vc(s) = Vi(s)/(sRC + 1) = s/(sRC + 1)(s^2 + w^2) = A/(sRC+1) + (Bs+D)/(s^2 + w^2) As^2 + Aw^2 + s^2BRC + Bs + DRCs + D D + Aw^2 = 0 A + BRC = 0 B + DRC = 1 D = -Aw^2 B = -A/RC 解A, B, D 回去解出 Vc(t) = (A/RC)exp(-t/RC) + Bcos(wt) + (D/w)sin(wt) + (Vc(0)/C)exp(-t/RC) 基本上通常會剩下Bcos(wt) + (D/w)sin(wt) 於是根據三角函數的和角公式 Vc(t) = sqrt(B^2 + (D/w)^2)[cos(α)cos(wt) + sin(α)sin(wt)] = sqrt(B^2 + (D/w)^2)cos(wt-α) lag for an arg α cosα = B/sqrt(B^2 + (D/w)^2) sinα = (D/w)/sqrt(B^2 + (D/w)^2) tanα = D/Bw α = arctan(wRC) wRC又剛好是T(s) = Vc/Vi = 1/(sRC + 1)裡面寫成T(jw) = 1/(1 + jwRC) 多完美，分母的虛部除以實部 phase shift = -arctan(Im/Re)|(分母) 同樣的方法可以用在zero的推定上# 也就是說，從來沒有哪一個"頻率"會讓|T(jw)| = inf，讓我們叫他pole freq 同理，也不會有一個頻率讓|T(jw)| = 0，讓我們叫他zero freq 也就是，就如jamtu講的不要隨意把zero => T(s) = 0, pole => T(s) = inf放在腦子裡初學者這樣學很快沒錯但是一直抱著這個概念，會死得很慘 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 114.42.101.36 ※ 編輯: deathcustom 來自: 114.42.101.36 (06/13 14:28)

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jamtu

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