Re: [機經] A2GMAT KH數學機經#160提點
我是來欣的謝忠理老師，剛剛看到兩位數學老師在為這題的解法爭論
。
160.三個連續整數x, y, z，說了x<y<z，問(z^2)-(y^2)-(x^2)不可能是以下哪個?
選項有-12, -6, 0, 3, 4。
雖然我自己主要是教 GMAT 的邏輯、閱讀、修辭以及作文部分。不過
由於我拿的是工科博士的學位，所以數學還有學過。看了兩位老師所
爭執的重點，簡單先下個結論：這題有更合乎考試時思考流程的解法
。
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本題解法爭論重點是，Dounts 老師認為
直接代進去即可
(x, y, z) = (1, 2, 3) --> 9 - 4 - 1 = 4
(x, y, z) = (0, 1, 2) --> 4 - 1 - 0 = 3
(x, y, z) = (-1, 0, 1) --> 1 - 0 - 1 = 0
(x, y, z) = (-2, -1, 0) --> 0 - 1 - 4 = -5
(x, y, z) = (-3, -2, -1) --> 1 - 4 - 9 = -12
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而 KH 老師則認為學生怎麼會知道第一組數字要代
(1, 2, 3)
為什麼不是其他的組合，所以認為 Dounts 老師是事後諸葛亮，學生
沒有辦法有這麼漂亮的想法。
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這一點，我認為說得有理。因為代入法要有相當的觀察能力為基礎，
才能夠看出來要代什麼數字才會具有代表性，或者是像這題，要代什
麼數字，才能剛好算出某個答案的數值。
在這一點，Dounts 老師所需要說明的是，用什麼樣觀察法，看出第
一組要代入 (1, 2, 3)，這樣學生或是其他補教老師才會信服。
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而至於 KH 老師則是用代數法：
[解]因為x,y,z為三個連續整數，故y=x+1, z=x+2，
代入原求值式得到：(x+2)^2-(x+1)^2-(x^2)=-x^2+2x+3，
再令原求值式等於每一選項逐一判斷是否有x的解。
(A)-x^2+2x+3=-12，x=5或-3
(B)-x^2+2x+3=-6，沒有x的解----------正確答案
(C)-x^2+2x+3=0，x=3或-1
(D)-x^2+2x+3=3，x=2或0
(E)-x^2+2x+3=4，x=1
實戰上判斷到(B)選項就能選擇答案！
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首先，代數法應該是絕大部分同學在考試時會用的方式，用這個方式
解本題不違反數學思維，因此是合理的起手式。
但是，為什麼 KH 老師會假設
y=x+1, z=x+2
而算出 (x+2)^2-(x+1)^2-(x^2)=-x^2+2x+3？
然後竟然用解一元二次方程式的方法求解？就如 Dounts 老師說，萬
一答案在 (E) 這樣算是要算多久啊？難怪 Dounts 老師認為怎麼能
夠這樣解？
這絕對不是、絕對不是快速解題的合理代數假設方式。
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這題國中數學老師都教過， 當 x,y,z 為三個連續整數時，
一定要假設成
z = y+1, x = y-1
所以
z^2 - y^2 - x^2 = (y+1)^2 - y^2 - (y-1)^2
= -y^2 + 4y
（上面應該可以用心算吧？20秒夠了，不必一分鐘）
因此本題就變成
當 y 為整數時，-y^2 + 4y 不可能是 -12
-6
0
3
4
哪一個？
這時請問 Dounts、KH 老師與各位同學，誰不能用代入心算方式解出
這題答案的，請舉個手？
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最後簡單下個結論：這題不太可能一開始在沒有觀察基礎情況下就用
代入法嘗試求解。第二，在考試實戰中，不可能冒著要解五遍一元二
次方程式的方式來做出 KH 老師的假設。
因此這題最合理的解法是，先代數、再根據答案數據代入適當 y 值。
整題實際計算時間應該在 30 秒上下。
最後給各位一個建議，國中數學老師教的東西真的要好好學。很有用
的，真的。
謝忠理
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