Re: [問題] 斜拋位移持續增加的角度值

看板Physics作者 (dealifeth)時間6月前 (2023/12/13 22:53), 6月前編輯推噓0(0推 0噓 58→)
留言58則, 4人參與, 6月前最新討論串3/3 (看更多)
提供不用微積分的解法 思路：位移持續增加，代表全程位移和速度均夾銳角。 列出內積後，判別式小於零 https://i.imgur.com/8QJXCiT.jpg
※ 引述《Honor1984 (奈何上天造化弄人？)》之銘言： : ※ 引述《dgju2990 ()》之銘言： : : https://i.imgur.com/ffKY52w.jpeg
: : 如圖 : : 假設一物體以相同初速斜向拋出，若該物與原點的位移持續增加時， : : 所能得到的最大sinθ值為多少？ : : 像上面那張圖就是位移持續增加，下面就是過最高點後開始減少了 : : 原本想法是用軌跡方程式算出X,y平方是距離，然後在微分大於零就是漸增了 : : 但中間數學有很大的代溝 : : 再來嘗試用向量來算 : : https://i.imgur.com/nSZ5p5G.jpeg
: : 還是不知道怎麼求出sin最大值，求救希望能在普物範疇內解釋 : : 答案是sinθ=2*2^0.5/3 （3分之2根號2） : : ----- : : Sent from MeowPtt on my iPhone : 從你的向量圖或直接從向量內積做起 : s^2 = (1/4)(g^2)t^4 + (v^2)t^2 - (vgsinθ)t^3 : d(s^2)/dt = t[(g^2)t^2 - (3vgsinθ)t + 2v^2] : = t(t - t')(t - t")， t < t' <= t" : 落地時間t* = (2v/g)sinθ， : 直接比較可知t* >= t' : 代表如果t' =/= t"，則落地前必發生s從增長到縮減的轉捩點 : 這不是我們要的狀況 : 所以題意要求的狀況必然是發生在(3vgsinθ)^2 - 8(gv)^2 <= 0的條件下 : => sinθ <= (2/3)√2 = (sinθ)_max : 這應該不是普通的普物題吧？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.242.206.253 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Physics/M.1702479222.A.0AC.html
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12/13 23:08, 6月前 , 1F
r‧v>0有不用微積分的證明嗎？
12/13 23:08, 1F
https://i.imgur.com/6BYewvW.jpg
※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:45:42 ※ 編輯: dealifeth1 (111.242.206.253 臺灣), 12/13/2023 23:46:47
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12/14 12:38, 6月前 , 2F
這個應該不能算證明，只是微積分做出來的結果圖解
12/14 12:38, 2F
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12/14 12:39, 6月前 , 3F
而且r.v>0，你直接把t約掉，然後後面又把t當變數，很
12/14 12:39, 3F
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12/14 12:39, 6月前 , 4F
奇怪，過程有點問題
12/14 12:39, 4F
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12/14 12:57, 6月前 , 5F
我也是用這麼解，兩向量內積需大於等於零，內積出來的函數
12/14 12:57, 5F
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12/14 12:59, 6月前 , 6F
f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，t不為零，則可約掉
12/14 12:59, 6F
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12/14 13:00, 6月前 , 7F
一個t變成t的二次函數，接下來就看你要用配方法或判別式去求
12/14 13:00, 7F
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12/14 15:18, 6月前 , 8F
t不為0，不等式約去也會有大於小於變號的問題
12/14 15:18, 8F
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12/14 15:23, 6月前 , 9F
t為正值，約掉不用變號；約完後為開口朝上的拋物線...
12/14 15:23, 9F
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12/14 15:24, 6月前 , 10F
f(t)=0的解頂多一個非零的解或無實數解，這要怎麼看?
12/14 15:24, 10F
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12/14 15:26, 6月前 , 11F
無實數解，就代表找不到函數小於0的時間
12/14 15:26, 11F
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12/14 15:26, 6月前 , 12F
等於零的那一個就是過程中有一個時刻點剛剛好兩向量垂直
12/14 15:26, 12F
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12/14 15:31, 6月前 , 13F
所謂t為正值，是指f(t)=0的解，怎麼知道不會有負解?
12/14 15:31, 13F
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12/14 15:33, 6月前 , 14F
t為已拋出開始計時經過的時間，物理經過的時間不會有負值
12/14 15:33, 14F
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12/14 15:36, 6月前 , 15F
你可以試試看用公式解得f(t)=0的t解長怎樣，只有一解會怎樣
12/14 15:36, 15F
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12/14 15:37, 6月前 , 16F
判斷看看那一解會不會是負的
12/14 15:37, 16F
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12/14 15:37, 6月前 , 17F
f(t)=tg(t)，g(t)為二次函數，假設我們只管t為正值的
12/14 15:37, 17F
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12/14 15:38, 6月前 , 18F
區域，要求tg(t)在此區間>0，那就算g(t)判別式>0，照
12/14 15:38, 18F
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12/14 15:39, 6月前 , 19F
樣做得到。
12/14 15:39, 19F
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12/14 15:40, 6月前 , 20F
要滿足題意式應該t無實數解，也就是判別式要小於零
12/14 15:40, 20F
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12/14 15:41, 6月前 , 21F
不存在你所說的判別式大於零的情況
12/14 15:41, 21F
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12/14 15:45, 6月前 , 22F
數學上畫那t的二次函數會有部分區域在t<0的地方
12/14 15:45, 22F
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12/14 15:46, 6月前 , 23F
但是物理限制就是只能有t>0的區域
12/14 15:46, 23F
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12/14 15:47, 6月前 , 24F
所以既然是t無實數解，是包含整個實數域，就不應該直
12/14 15:47, 24F
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12/14 15:48, 6月前 , 25F
那二次函數取t>0的區域找符合滿足函數為零的時刻t要嘛一個
12/14 15:48, 25F
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12/14 15:49, 6月前 , 26F
要嘛就是找不到，也就是整個二次函數都在t軸以上
12/14 15:49, 26F
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12/14 15:49, 6月前 , 27F
接將不等式的t約掉。這題可以剛好約掉，是因為f(t)的
12/14 15:49, 27F
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12/14 15:49, 6月前 , 28F
函數表達式有受到限定，而不是直接約掉t當作通則。
12/14 15:49, 28F
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12/14 15:53, 6月前 , 29F
對阿，以這題物理限制當然就直接約掉就好，我們是在處理物理
12/14 15:53, 29F
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12/14 15:54, 6月前 , 30F
問題，不是在處理滿不滿足通則的數學問題，在限制下可以滿足
12/14 15:54, 30F
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12/14 15:54, 6月前 , 31F
當然就如此做就好
12/14 15:54, 31F
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12/14 15:57, 6月前 , 32F
我再想想好了，謝謝
12/14 15:57, 32F
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12/14 15:59, 6月前 , 33F
t無實數解，以這題來說就是限制在t>0的區域找不到t可以使得
12/14 15:59, 33F
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12/14 16:01, 6月前 , 34F
f(t)=0，這已經自動限制只能找正實數域，根本不用考慮負實數
12/14 16:01, 34F
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12/14 16:04, 6月前 , 35F
我前面有講錯:無實數解，就代表找不到函數"等"於0的時間
12/14 16:04, 35F
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12/15 01:23, 6月前 , 36F
那個若r漸增，則r‧v>0的數學證明我覺得不用微積分應
12/15 01:23, 36F
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12/15 01:24, 6月前 , 37F
該是不行的
12/15 01:24, 37F
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12/15 01:24, 6月前 , 38F
不過解題的話應該能說出個理由就行吧
12/15 01:24, 38F
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12/15 01:26, 6月前 , 39F
t的部分同m大說的
12/15 01:26, 39F
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12/15 01:27, 6月前 , 40F
mhch 大
12/15 01:27, 40F
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12/15 12:20, 6月前 , 41F
如果判別式方法還無法接受，那試試配方法吧
12/15 12:20, 41F
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12/15 12:21, 6月前 , 42F
12/15 12:21, 42F
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12/15 12:21, 6月前 , 43F
12/15 12:21, 43F
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12/15 14:48, 6月前 , 44F
這個作法還有另外一個問題，實際上只要落地前r.v>=0
12/15 14:48, 44F
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12/15 14:49, 6月前 , 45F
就好，所以不是單純直接配方法令常數項>=0就好
12/15 14:49, 45F
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12/15 15:29, 6月前 , 46F
您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？
12/15 15:29, 46F
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12/15 15:50, 6月前 , 47F
您自己看看函數極小值時的時間是不是在飛行時間裡？其它時
12/15 15:50, 47F
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12/15 15:51, 6月前 , 48F
間包含飛行的其間符不符合？況且我們也是只要飛行時間內符合
12/15 15:51, 48F
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12/15 15:52, 6月前 , 49F
合就好，沒必要去扯非飛行的時刻
12/15 15:52, 49F
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12/15 16:11, 6月前 , 50F
實際上r‧v=0的時間點只會在過最高點後到落地時間前
12/15 16:11, 50F
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12/15 16:11, 6月前 , 51F
不用考慮落地時間後
12/15 16:11, 51F
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12/15 16:14, 6月前 , 52F
即便是設定從高處斜拋，低於初拋高度後因為r和v的方向
12/15 16:14, 52F
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12/15 16:14, 6月前 , 53F
都必在第四象限，所以兩者必夾銳角
12/15 16:14, 53F
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12/15 17:07, 6月前 , 54F
d大～您說的是對的，我上面是回應mucicbox810
12/15 17:07, 54F
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12/15 17:11, 6月前 , 55F
我認為他很拘泥在數學上的函數的值域是否都符合，但是物理
12/15 17:11, 55F
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12/15 17:11, 6月前 , 56F
是只要討論滿足物理情況的範圍就好
12/15 17:11, 56F
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12/15 19:34, 6月前 , 57F
同感
12/15 19:34, 57F
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12/15 22:46, 6月前 , 58F
物理上很多都是先做了再說，感覺怪怪的再修正。
12/15 22:46, 58F
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文章代碼(AID): #1bUSLs2i (Physics)
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